УДК 517.9
MSC: 49K27, 49N15, 47A52, 90C46, 90C25
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-242-258
Обсуждается важнейшая роль правила множителей Лагранжа (ПМЛ) в недифференциальной форме в теории условной оптимизации. Оно позволяет естественным образом связать привычный подход к классическим условиям оптимальности в рамках теории экстремальных задач, при котором исходные данные задач трактуются как “жестко” заданные математические объекты, с подходом, в соответствии с которым на те же экстремальные задачи мы смотрим как на некорректные, подразумевая что их исходные данные могут задаваться с погрешностями. В статье обосновывается возможность говорить о том, что ПМЛ в недифференциальной форме органично объединяет оба направления оптимизационной теории, соответствующие двум указанным выше подходам. В первом случае, при классическом подходе, оно является привычной основой всей теории экстремальных задач. Если же мы говорим о некорректности экстремальных задач, то классическое правило эту роль сохраняет, но в регуляризованном виде. Таким образом, мы можем говорить об универсальности классического ПМЛ и получаем дополнительное свидетельство в пользу его фундаментальности: “внутренний потенциал” классического ПМЛ оказывается таков, что при соответствующей конструктивной трансформации-регуляризации оно преобразуется в универсальное средство устойчивого решения некорректных задач на условный экстремум.
Ключевые слова: выпуклая задача на условный экстремум, правило множителей Лагранжа, некорректность, регуляризация, метод возмущений, функция значений, субдифференциал, двойственная задача, обобщенная минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011. 1056 с.
3. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 352 с.
4. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.
5. Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. М.: Изд-во МГУ, 1987. 304 с.
6. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 200 с.
7. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна — Таккера в гильбертовом пространстве // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2011. Т. 51, № 9. С. 1594–1615.
8. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. C. 279–296. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
9. Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. C. 203–221. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-2-203-221
10. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.
11. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
12. Сумин М.И. Недифференциальные теоремы Куна — Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2020. Т. 25, № 131. С. 307–330. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2020-25-131-307-330
13. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Москва: Мир, 1988. 264 с.
14. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2.
C. 252–269. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269
15. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. Ser. CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 2. Providence, RI: AMS, 1993. 153 p. https://doi.org/10.1090/crmp/002
16. Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений // Успехи мат. наук. 2013. Т. 68, № 3 (411). С. 5–38. https://doi.org/10.4213/rm9525
17. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.
18. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. M.: Мир, 1988. 512 с.
19. Тихонов А.Н. Об устойчивости задачи оптимизации функционалов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6, № 4. С. 631–634.
20. Сумин М.И. О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2022. Т. 27, № 137. С. 58–79. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-137-58-79
Поступила 12.01.2026
После доработки 20.02.2026
Принята к публикации 23.02.2026
Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
ведущий науч. сотрудник
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов
e-mail: m.sumin@mail.ru
Ссылка на статью: М.И. Сумин. Об универсальности правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 242–258.
English
M.I. Sumin. On the universality of the Lagrange multiplier rule in convex problems for constrained extremum
This paper discusses the crucial role of the Lagrange multiplier rule (LMR) in its non-differential form in the theory of constrained optimization. It provides a natural link between the familiar approach to classical optimality conditions within the theory of extremal problems, in which the initial data of problems are treated as “rigidly” specified mathematical objects, and an approach according to which we regard the same extremal problems as ill-posed, implying that their initial data may be specified with errors. The paper substantiates the validity of saying that the LMR in its non-differential form organically unites both directions of optimization theory, corresponding to the two approaches mentioned above. In the first case, under the classical approach, it serves as the familiar foundation of the entire theory of extremal problems. If we consider the ill-posedness of extremal problems, then the classical rule retains this role, but in a regularized form. Thus, we can speak about the universality of the classical LMR and obtain additional evidence in favor of its fundamental nature: the “internal potential” of the classical LMR turns out to be such that, with the appropriate constructive transformation-regularization, it is transformed into a universal means of stable solving ill-posed problems for constrained extremum.
Keywords: convex problem for constrained extremum, Lagrange multiplier rule, ill-posedness, regularization, perturbations method, value function, subdifferential, dual problem, generalized minimizing sequence, regularizing algorithm
Received January 12, 2026
Revised February 20, 2026
Accepted February 23, 2026
Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Leading Researcher, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: m.sumin@mail.ru
Cite this article as: M.I. Sumin On the universality of the Lagrange multiplier rule in convex problems for constrained extremum. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 242–258.
[References -> on the "English" button bottom right]
