УДК 517.977.1
MSC: 34H05, 49K15, 92C50, 92D30, 93C10
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-259-270
Работа выполнена при поддержке Московского центра фундаментальной и прикладной математики МГУ имени М. В. Ломоносова по соглашению 075-15-2025-345.
В работе на фиксированном отрезке времени изучается задача минимизации Майера со свободным правым концом для нелинейной трехмерной дифференциальной системы, аффинной по управлению. Для такой задачи определяются скобки Ли, характеризующие производные соответствующей функции переключений до четвертого порядка включительно. Для этих скобок Ли рассматриваются разложения по совокупности линейно независимых вектор-функций. Подробно исследуется такой вид разложений, который в задаче минимизации может приводить к существованию у оптимального управления особого режима локального второго порядка. Приводятся два конкретных примера этой задачи, в которых такой вид разложений скобок Ли имеет место.
Ключевые слова: управляемая аффинная дифференциальная система, задача Майера, функция переключений, скобка Ли, особый режим локального второго порядка
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 c.
2. Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Boston: Birkhäuser, 1994. 244 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2702-1
3. Schättler H., Ledzewicz U. Geometric optimal control: theory, methods and examples. NY; Heidelberg; Dordrecht; London: Springer, 2012. 640 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-3834-2
4. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Либроком, 2013. 256 c.
5. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: Физматлит, 2016. 440 c.
6. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Режимы учащающихся переключений в задачах оптимального управления // Тр. МИАН. 1991. Т. 197. С. 85–166.
7. Zhu J., Trélat E., Cerf M. Planar titling maneuver of a spacecraft: singular arcs in the minimum time problem and chattering // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2016. Vol. 21, № 4. P. 1347–1388. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2016.21.1347
8. Мельников Н.Б., Ронжина М.И. Экстремали с бесконечным числом переключений в задачах стабилизации аффинных по управлению // Успехи мат. наук. 2024. Т. 79, № 5. С. 187–188. https://doi.org/10.4213/rm10198
9. Мельников Н.Б., Ронжина М.И. Четтеринг-траектории в задачах стабилизации нелинейных систем, аффинных по управлению // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. C. 138–153. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-1-138-153
10. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.
11. Хайлов Е.Н., Григоренко Н.Л., Григорьева Э.В., Клименкова А.Д. Управляемые системы Лотки-Вольтерры в моделировании медико-биологических процессов. М.: МАКС Пресс, 2021. 204 c. https://doi.org/10.29003/m2448.978-5-317-06681-9
12. Grigorieva E., Khailov E. Chattering and its approximation in control of psoriasis treatment // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2019. Vol. 24, no. 5. P. 2251–2280. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2019094
Поступила 18.11.2025
После доработки 4.12.2025
Принята к публикации 8.12.2025
Хайлов Евгений Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: khailov@cs.msu.su
Ссылка на статью: Е.Н. Хайлов. Об особом режиме локального второго порядка в трехмерной дифференциальной системе, аффинной по управлению // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 259–270.
English
E.N. Khailov. On a singular regimen of local second order in a three-dimensional differential system affine in control
In this paper, a Mayer minimization problem with a free right endpoint for a nonlinear three-dimensional differential system with affine control is studied on a fixed time interval. For this problem, Lie brackets are defined that characterize the derivatives of the corresponding switching function up to and including the fourth order. For these Lie brackets, expansions over a set of linearly independent vector functions are considered. A type of expansion that can lead to the existence of a singular local second-order regimen for the optimal control in a minimization problem is studied in detail. Two specific examples of this problem are given in which this type of Lie bracket expansion holds.
Keywords: control affine differential system, Mayer problem, switching function, Lie bracket, singular regimen of local second order
Received November 18, 2025
Revised December 4, 2025
Accepted December 8, 2025
Funding Agency: The paper was published with the support of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics under the agreement no. 075-15-2025-345.
Evgenii Nikolaevich Khailov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992 Russia, e-mail: khailov@cs.msu.su
Cite this article as: E.N. Khailov. On a singular regimen of local second order in a three-dimensional differential system affine in control. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 259–270.
[References -> on the "English" button bottom right]
