УДК 517.926.7
MSC: 34A30, 34C10, 34D05
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-1-199-209
Исследования авторов выполнены при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания № 075-03-2024-074 по проекту "Исследование асимптотических характеристик колеблемости дифференциальных уравнений и систем, а также оптимизационных методов".
В настоящей работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости решений линейных однородных дифференциальных систем с непрерывными ограниченными коэффициентами. Подсчет показателей колеблемости происходит путем усреднения числа нулей (или знаков, или корней, или гиперкорней) проекции решения $x$ дифференциальной системы на какую-либо прямую, причем эта прямая выбирается так, чтобы полученное среднее значение оказалось минимальным: если указанная минимизация производится перед усреднением, то получаются слабые показатели колеблемости, а если после, то - сильные показатели колеблемости. При вычислении показателей колеблемости решения $y$ линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка осуществляется переход к вектор-функции $x=(y, \dot y,\dots, y^{(n-1)})$. Эти показатели тесно связаны с пересечениями решениями гиперплоскостей (проходящих через начало координат), т.е. с колеблемостью проекций этих решений на всевозможные прямые. Основной результат работы заключается в конструктивном построении двумерной линейной ограниченной системы, обладающей тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних, сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней совпадают с любым наперед заданным замкнутым ограниченным счетным множеством неотрицательных рациональных чисел с единственной нулевой предельной точкой. Более того, для любого ненулевого решения построенной системы все показатели колеблемости совпадают между собой, причем каждое их значение является метрически и топологически существенным. При построении указанной системы и доказательстве основного результата использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и специальная методика управления фундаментальной матрицей двумерной дифференциальной системы.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, линейная система, колеблемость, число нулей, показатель Ляпунова, частота Сергеева, показатель колеблемости, показатель блуждаемости
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Тр. cеминара им. И. Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249–294.
2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. математическая. 2012. Т. 76, № 1. C. 149–172. https://doi.org/10.4213/im5035
3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. сб. 2013. Т. 204, № 1. C. 119–138. https://doi.org/10.4213/sm7928
4. Сергеев И.Н. Полный набор соотношений между показателями колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Изв. Ин-та математики и информатики УдГУ. 2015. Вып. 2 (46). С. 171–183.
5. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 2016. Вып. 31. С. 177–219.
6. Сергеев И.Н. Показатели колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Мат. заметки. 2016. Т. 99, № 5. С. 732–751. https://doi.org/10.4213/mzm10555
7. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 10. С. 1302–1320. https://doi.org/10.1134/S0374064116100034
8. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II // Дифференци. уравнения. 2016. Т. 52. № 12. С. 1595–1609. https://doi.org/10.1134/S0374064116120013
9. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 4. С. 419–425. https://doi.org/10.1134/S0374064116040026
10. Войделевич А.С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. 2019. № 1. С. 28–32. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-28-32
11. Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1661–1662.
12. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 11. С. 1567–1568.
13. Сташ А.Х. Существование двумерной линейной системы с континуальными спектрами полных и векторных частот // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 1. С. 143–144. https://doi.org/10.1134/S0374064115010161
14. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 2014. Вып. 30. С. 75–93.
15. Сташ А.Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29, № 4. С. 558–568. https://doi.org/10.20537/vm190407
16. Сташ А.Х. О существенных значениях показателей колеблемости решений линейной однородной двумерной дифференциальной системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 2. С. 157–171. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-2-157-171
17. Сташ А.Х., Лобода Н.А. О реализации конечных существенных спектров показателей колеблемости двумерных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2024. Т. 60, № 4. С. 500–507. https://doi.org/10.31857/S0374064124040053
18. Шишлянников Е.М. Свойства ляпуновских показателей колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем: дис.. . . канд. физ.-мат.наук / Моск. гос. ун-т. Москва, 2019. 79 с.
19. Шишлянников Е.М. Двумерные дифференциальные системы с произвольными конечными спектрами показателя блуждаемости// Вестн. Моск. ун-та Сер. 1. Математика. Механика. 2017. № 5. С. 14–21.
20. Шишлянников Е.М. Существование двумерной ограниченной системы с континуальными и совпадающими спектрами частот и показателей блуждаемости // Мат. сб. 2018. Т. 209, № 12. С. 149–164. https://doi.org/10.4213/sm8995
Поступила 10.09.2024
После доработки 27.11.2024
Принята к публикации 2.12.2024
Сташ Айдамир Хазретович
канд. физ.-мат. наук, доцент
декан ф-та математики и компьютерных наук
Адыгейский государственный университет,
г. Майкоп
e-mail: aidamir.stash@gmail.com
Лобода Надежда Алексеевна
старший преподаватель
Адыгейский государственный университет,
г. Майкоп
e-mail: n-loboda@yandex.ru
Ссылка на статью: А.Х. Сташ, Н.А. Лобода. О реализации счетных существенных спектров показателей колеблемости линейной однородной двумерной дифференциальной системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 199-209
English
A.Kh. Stash, N.A. Loboda. On the implementation of countable essential spectra of oscillation exponents in a linear homogeneous two-dimensional differential system
Various types of oscillation exponents are studied for solutions of linear homogeneous differential systems with continuous bounded coefficients. The oscillation exponents are calculated by averaging the number of zeros (or signs, or roots, or hyperroots) of the projection of a solution $x$ of a differential system onto some straight line, where this line is chosen so that the resulting average value is minimal. If minimization precedes averaging, then the weak oscillation exponents are obtained; otherwise, the strong ones. When calculating oscillation exponents of a solution $y$ of a linear homogeneous $n$th-order differential equation, we pass to the vector function $x=(y, \dot y,\dots, y^{(n-1)})$. These exponents are closely related to the intersections of solutions with hyperplanes (passing through the origin), i.e. with the oscillation of projections of these solutions onto all possible straight lines. The main result of the paper is an explicit construction of a two-dimensional linear bounded system with the property that its spectra of all upper and lower, strong and weak oscillation exponents of strict and nonstrict signs, zeros, roots, and hyperroots coincide with any predetermined closed bounded countable set of nonnegative rational numbers with a single zero limit point. Moreover, for any nonzero solution of the constructed system, all oscillation exponents coincide, and each of their values is metrically and topologically essential. In the construction of the mentioned system and in the proof of the main result, we apply analytical methods of the qualitative theory of differential equations and a special method of controlling the fundamental matrix of a two-dimensional differential system.
Keywords: differential equation, linear system, oscillation, number of zeros, Lyapunov exponent, Sergeev frequency, oscillation exponent, wandering exponent
Received September 10, 2024
Revised November 27, 2024
Accepted December 2, 2024
Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (state task no.~075-03-2024-074) within the project "Study of asymptotic oscillation characteristics of differential equations and systems as well as optimization methods".
Aydamir Khazretovich Stash, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Dean of the Faculty of Mathematics and Computer Science, Adyghe State University, Maykop, 385000 Russia, e-mail: aidamir.stash@gmail.com
Loboda Nadejda Alekseevna, Adyghe State University, Maykop, 385000 Russia, e-mail: n-loboda@yandex.ru
Cite this article as: A.Kh. Stash, N.A. Loboda. On the implementation of countable essential spectra of oscillation exponents in a linear homogeneous two-dimensional differential system. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 1, pp. 199-209
