УДК 519.653
MSC: 65D25
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-106-116
Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0016).
Рассматривается вопрос численного дифференцирования функций с большими градиентами. Предполагается, что для исходной функции одной переменной справедлива декомпозиция в виде суммы регулярной составляющей и погранслойной составляющей, отвечающей за большие градиенты функции и известной с точностью до множителя. Такая декомпозиция справедлива, в частности, для решения сингулярно возмущенной краевой задачи. Проблема в том, что применение к функциям с большими градиентами классических полиномиальных формул численного дифференцирования может приводить к существенным погрешностям. Исследуются формулы численного дифференцирования, точные на погранслойной составляющей, и оценивается их погрешность. Обосновано, что при наличии у функции погранслойной составляющей такие формулы являются более точными в сравнении с классическими. Предложен подход к оцениванию погрешности предложенных формул, применимость которого показана в частных случаях. Приведены результаты численных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей и показывающие преимущество в точности предложенных формул.
Ключевые слова: функция одной переменной, большие градиенты, погранслойная составляющая, неполиномиальная формула численного дифференцирования, оценка погрешности
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 c.
2. Zadorin A.I., Zadorin N.A. Interpolation formula for functions with a boundary layer component and its application to derivatives calculation // Sib. Electron. Math. Rep. 2012. Vol. 9. P. 445–455.
3. Ильин А.М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 2. C. 237–248.
4. Kellogg R.B., Tsan A. Analysis of some difference approximations for a singular perturbation problems without turning points // Math. Comput. 1978. Vol. 32. P. 1025–1039. doi: 10.1090/S0025-5718-1978-0483484-9
5. Задорин А.И., Задорин Н.А. Неполиномиальная интерполяция функций с большими градиентами и ее применение // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2021. Т. 61, № 2. С. 179–188. doi: 10.31857/S0044466921020150
6. Задорин А.И. Формулы численного дифференцирования функций с большими градиентами // Сиб. журн. вычисл. математики. 2023. Т. 26, № 1. С. 17–26. doi: 10.15372/SJNM20230102
7. Задорин А.И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Шишкина при наличии пограничного слоя // Сиб. журн. вычисл. математики. 2018. Т. 21, № 3. С. 243–254. doi: 10.15372/SJNM20180301
8. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1992. 233 c.
9. Задорин А.И. Анализ формул численного дифференцирования на сетке Бахвалова при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2023. Т. 63, № 2. С. 218–226. doi: 10.31857/S0044466923020163
10. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. Т. 9, № 4. С. 841–890.
11. Roos H.G. Layer-adapted meshes: milestones in 50 years of history. 2019. 16 p. Preprint arXiv:1909.08273 . URL: https://arxiv.org/abs/1909.08273 . doi: 10.48550/arXiv.1909.08273
12. Vulanović R. On a numerical solution of a power layer problem // Proc. III Conf. on Numerical Methods and Approximation Theory / ed. G.V. Milovanovoć. University of Niš, 1988. P. 423–431.
13. Даутов Р.З., Тимербаев М.Р. Численные методы. Приближение функций: уч. пос. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2021. 122 с.
14. Kopteva N.V., Stynes M. Approximation of derivatives in a convection-diffusion two-point boundary value problem // Appl. Numer. Math. 2001. Vol. 39. P. 47–60. doi: 10.1016/S0168-9274(01)00051-4
15. Shishkin G.I. Approximations of solutions and derivatives for a singularly perturbed elliptic convection-diffusion equations // Math. Proc. Royal Irish Acad. 2003. Vol. 103A, no. 4. P. 169–201. doi: 10.1353/mpr.2003.0010
Поступила 4.04.2024
После доработки 10.05.2024
Принята к публикации 13.05.2024
Задорин Александр Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики имени С.Л. Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: zadorin@ofim.oscsbras.ru
Ссылка на статью: А.И. Задорин. Анализ формул численного дифференцирования на равномерной сетке при наличии пограничного слоя // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 106-116
English
A.I. Zadorin. Analysis of numerical differentiation formulas on a uniform grid in the presence of a boundary layer
The issue of numerical differentiation of functions with large gradients is considered. It is assumed that there is a decomposition of a given function of one variable into the sum of a regular component and a boundary layer component; the latter is responsible for the large gradients of the function and is known up to a factor. This decomposition is valid, in particular, for a solution of a singularly perturbed boundary value problem. However, the application of the classical polynomial formulas of numerical differentiation to functions with large gradients may produce significant errors. Numerical differentiation formulas that are exact on the boundary layer component are studied, and their error is estimated. Such formulas are proved to be more exact than the classical ones in the case of the presence of a boundary layer component. An approach to estimating the error of the proposed formulas is suggested, and its applicability is shown in particular cases. The results of numerical experiments are presented. These results comply with the obtained error estimates and show the advantage in accuracy of the proposed formulas.
Keywords: function of one variable, large gradients, boundary layer component, nonpolynomial formula for numerical differentiation, error estimation
Received April 4, 2024
Revised May 10, 2024
Accepted May 13, 2024
Funding Agency: The work was supported under state contract IM SB RAS no. FWNF-2022-0016.
Aleksander Ivanovich Zadorin. Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: zadorin@ofim.oscsbras.ru
Cite this article as: A.I. Zadorin. Analysis of numerical differentiation formulas on a uniform grid in the presence of a boundary layer. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 106–116.
[References -> on the "English" button bottom right]
