О.В. Кравцова, В.С. Логинова. Вопросы строения конечных квазиполей Холла ... С. 128-141

УДК 512.554

MSC: 12K99, 15A04, 17A35, 17D99

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-128-141

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2023-936).

Памяти профессора Владимира Михайловича Левчука

Конечные квазиполя изучаются взаимосвязанно с проективными плоскостями трансляций уже более века. Выявление особенностей строения и аномальных свойств представляет важный шаг в решении проблемы классификации конечных квазиполей. В статье решаются структурные вопросы для конечных квазиполей Холла. Это двумерные над центром квазиполя, все нецентральные элементы которых удовлетворяют одному квадратному уравнению. Группа автоморфизмов действует транзитивно на нецентральных элементах. Все квазиполя Холла одного порядка координатизируют одну плоскость трансляций — плоскость Холла. Метод регулярного множества, основанный на записи умножения как линейного преобразования, применяется для описания подполей и подквазиполей, спектров и автоморфизмов. Приводится алгоритм вычисления количества попарно неизоморфных квазиполей Холла одного порядка. Уточняется теорема М. Кордеро и В. Джа 2009 г. о покрытии и примитивности, с контрпримерами примитивных квазиполей Холла. Указаны квазиполя порядка 16 с покрытием подполями порядка 4, не содержащиеся в квазиполях Холла. В связи с примерами перечислены вопросы дальнейшего исследования.

Ключевые слова: квазиполе, квазиполе Холла, регулярное множество, спектр, автоморфизм, правопримитивное квазиполе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Dickson L.E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7, no. 3. P. 370–390. doi: 10.1090/S0002-9947-1906-1500755-5

2.   Veblen O., Maclagan–Wedderburn J.H. Non-Desarguesian and Non-Pascalian geometries // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. Vol. 8, no. 3. P. 379–388. doi: 10.1090/S0002-9947-1907-1500792-1

3.   Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468 с.

4.   Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. NY Inc.: Springer-Verlag, 1973. 292 p.

5.   Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

6.   Dickson L.E. On finite algebras // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. 1905. Kl. II. P. 358–393. URL: http://eudml.org/doc/58621

7.   Zassenhaus H. Uber endliche Fastkörper // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1936. Vol. 11. P. 187–220. doi: 10.1007/BF02940723

8.   Johnson N.L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. London; NY: Chapman Hall/CRC, 2007. 888 p.

9.   Hall M., Jr. Projective planes // Trans. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 54. P. 229–277. doi: 10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4

10.   Biliotti M., Jha V., Johnson N.L. Foundations of translation planes. NY; Basel: Marcel Dekker Inc., 2001. 542 p.

11.   Nesbitt–Stobert S.B., Garner C.W.L. A direct proof that all Hall planes of the same finite order are isomorphic // Riv. Mat. Univ. Parma. 1986. Vol. 12, no. 4. P. 241–247.

12.   Levchuk V.M., Kravtsova O.V. Problems on structure of finite quasifields and projective translation planes // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no. 4. P. 688–698. doi: 10.1134/S1995080217040138

13.   Кравцова О.В., Скок Д.С. Метод регулярного множества построения конечных квазиполей // Тр. И-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 164–181. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-164-181 

14.   Mäurer H. Die affine Projektivitätengruppe der Hallebenen [The affine group of projectivities of the Hall planes] // Aequationes Math. 1987. Vol. 32. P. 271–273.

15.   Wene G.P. On the multiplicative structure of finite division rings // Aequationes Math. 1991. Vol. 41. P. 222–233. doi: 10.1007/BF02227457

16.   Hentzel I.R., Rúa I.F. Primitivity of finite semifields with 64 and 81 elements // International J. Algebra and Computation. 2007. Vol. 17, no. 7. P. 1411–1429. doi:10.1142/S0218196707004220

17.   Cordero M., Jha V. On the multiplicative structure of quasifields and semifields: cyclic and acyclic loops // Note di Matematica. 2009. Vol. 29, no. 1. P. 45–59. doi:10.1285/i15900932v29n1supplp45

18.   Nagy G.P. Doubly transitive sete of even permutations // Bul. Acad. tiine. Repub. Mold. Mat. 2016. No. 1. P. 78–82.

19.   Hiramine Y. A generalization of Hall quasifields// Osaka J. Math. 1985. Vol. 22. P. 61–69. doi: 10.18910/7798

20.   Dempwolff U., Reifart A. The Classification of the translation planes of order 16. Universität Stuttgart / Fachbereich Mathematik: Preprint (Vol. 42). 1982.

21.   Levchuk V.M., Shtukkert P.K. Problems on structure for quasifields of orders 16 and 32 // J. Sib. Federal University. Ser. Mathematics & Physics. 2014. Vol.7, no. 3. P. 362–372.

Поступила 14.08.2023

После доработки 15.11.2023

Принята к публикации 20.11.2023

Кравцова Ольга Вадимовна
д-р. физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры высшей математики №2
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: ol71@bk.ru

Логинова Валерия Сергеевна
магистрант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: yui5432188@gmail.com

Ссылка на статью: О.В. Кравцова, В.С. Логинова. Вопросы строения конечных квазиполей Холла // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 1. С. 128-141

English

O.V. Kravtsova, V.S. Loginova. Questions of the structure of finite Hall quasifields

The finite quasifields have been studied together with projective translation planes for more than a century. The identification of structural features and anomalous properties is an important step in solving the classification problem of finite quasifields. The article solves the structural problems for finite Hall quasifields. These are quasifields two-dimensional over the center such that all non-central elements are the roots of a unique quadratic equation. The automorphism group acts transitively on non-central elements. All Hall quasifields of the same order coordinatize one isomorphic translation plane, which is the Hall plane. The spread set method allows to present the multiplication rule as a linear transformation. The method is used to describe subfields, sub-quasifields, spectra, and automorphisms. An algorithm to calculate the number of pairwise non-isomorphic Hall quasifields of the same order is given. The covering and primitivity theorem by M. Cordero and V. Jha (2009) is clarified, with the primitive Hall quasifields counter-examples. The quasifields of order 16 covered by subfields of order 4 not contained in any Hall quasifield are presented. The examples also raise the questions for further investigation.

Keywords: quasifield, Hall quasifield, spread set, spectrum, automorphism, right-primitive quasifield

Received August 14, 2023

Revised November 15, 2023

Accepted November 20, 2023

Funding Agency: This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (agreement no. 075-02-2023-936).

Olga Vadimovna Kravtsova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ol71@bk.ru

Valeria Sergeevna Loginova, graduate student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: yui5432188@gmail.com

Cite this article as: O.V. Kravtsova, V.S. Loginova. Questions of the structure of finite Hall quasifields. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 128–141.

[References -> on the "English" button bottom right]