О.В. Хамисов. Оптимизация функции оптимального значения в задачах выпуклого параметрического программирования ... С. 247-260

УДК 519.6

MSC: 28X04

DOI: 10.21538/0134-4889-2023-29-3-247-260

Работа выполнена в рамках проекта государственного задания № FWEU-2021-0006 (регистрационный номер АААА-А21-121012090034-3).

В работе рассматривается задача выпуклого параметрического программирования, в которой целевая функция и функции-ограничения являются выпуклыми функциями внешнего параметра. Предлагаются процедуры для нахождения максимального и минимального значения оптимального значения функции и для нахождения внутренних и внешних аппроксимаций множества параметров, при которых исследуемая задача совместна. Все процедуры основаны на применении опорных функций. Приводятся иллюстративные примеры.

Ключевые слова: параметрическая оптимизация, функция оптимального значения, опорные функции, внешняя и внутренняя аппроксимация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Измаилов А.Ф. Чувствительность в оптимизации. М.: Физматлит, 2006. 248 c.

2.   Левитин Е.С. Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1992. 360 c.

3.   Bank G., Guddat J., Klatte K., Kummer B., Tammer K. Non-linear parametric optimization. Basel: Birkhäuser, 1982. 228 p. doi: 10.1007/978-3-0348-6328-5

4.   Guddat J., Vasquez V.G., Jongen H.Th. Parametric optimization: singularities, pathfollowing and jumps. Wiesbaden: Springer Fachmedien, 1990. 191 p. doi: 10.1007/978-3-663-12160-2

5.   Klatte D., Kummer B. Nonsmooth equations in optimization. Regularity, calculus, methods and applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. 362 p. doi: 10.1007/b130810

6.   Zlobec S. Stable parametric programming. NY: Springer-Science, 2001. 329 p. doi: 10.1007/978-1-4615-0011-7

7.   Еремин И.И. Противоречивые модели модели оптимального планирования. М.: Наука, 1988. 160 c.

8.   Параметрическая оптимизация и методы аппроксимации несобственных задач математического программирования. Сб. статей. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. 136 c.

9.   Еремин И.И., Мазуров В.Д., Астафьев Н.Н. Несобственные задачи линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1983. 336 c.

10.   Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. 280 c.

11.   Fiacco A.V., Kyparisis J. Convexity and concavity properties of the optimal value function in parametric nonlinear programming // J. Optim. Theory Appl. 1986. Vol. 48. P. 95–126. doi: 10.1007/BF00938592

12.   Kyparisis J., Fiacco A.V. Generalized convexity and concavity of the optimal value function in nonlinear programming // Math. Progr. 1987. Vol. 39. P. 285–304. doi: 10.1007/BF02592078

13.   Aubin J.P. Lipschitz behaviour of solutions to convex minimization problems // Math. Oper. Research. 1984. Vol. 9, no. 1. P. 87–111. doi: 10.1287/moor.9.1.87

14.   Gfrerer H., Klatte D. Lipschitz and HЈolder stability of optimization problems and generalizex equations // Math. Progr., Ser A. 2016. Vol. 158. P. 35–75. doi: 10.1007/s10107-015-0914-1

15.   Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука, 1989. 304 c.

16.   Левитин Е.С. О редукции невыпуклых задач обобщенного полубесконечного математического программирования к выпуклым задачам полубесконечного программирования // Автоматика и телемеханика. 1998. № 1. С. 28–34.

17.   Булатов В.П. Методы решения многоэкстремальных задач (глобальный поиск) // Методы численного анализа и оптимизации / ред. Б. А. Бельтюков, В. П. Булатов. Новосибирск, 1987. С. 133–157.

18.   Хамисов О.В. Глобальная оптимизация функций с вогнутой минорантой // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 9. С. 1552–1563.

19.   Floudas C.A. Deterministic global optimization. Theory, methods and applications. NY: Springer, 2000. 742 p.

20.   Gorski J., Pfeuffer F., Klamroth K. Biconvex sets and optimization with biconvex functions: a survey and extensions // Math. Meth. Oper. Res. 2007. Vol. 66. P. 373–407. doi: 10.1007/s00186-007-0161-1

21.   Meng Z., Jiang M., Shen R., Xu L., Dang C. An objective penalty function method for biconvex programming // J. Glob. Optim. 2021. Vol. 81. P. 599–620. doi: 10.1007/s10898-021-01064-5

22.   Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Физматлит, 2005. 368 с.

23.   Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977. 164 с.

24.   Булатов В.П., Белых Т.И. Численные методы решения многоэкстремальных задач, связанные с обратными задачами математического программирования // Изв. вузов. Математика. 2007. Т. 48, № 2. С. 14–20.

25.   Норкин В.И. О методе Пиявского для решения общей задачи глобальной оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1992. Т. 32, № 7. С. 992–1006.

26.   Еремин И.И. Некоторые вопросы кусочно-линейного программирования // Изв. вузов. Математика. 1997. № 12. С. 49–61.

27.   Horst R., Tuy H. Global optimization (Deterministic approaches). Berlin: Springer-Verlag, 1996. 727 p.

28.   Булатов В.П., Хамисов О.В. Методы отсечения в $E^{n+1}$ для решения задач глобальной оптимизации на одном классе функций // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 11. С. 1830–1842.

29.   Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1982. 144 c.

30.   Khamisov O.V. Approximation of parametrically given polyhedral sets // Proceedings of the Workshop on Applied Mathematics and Fundamental Computer Science / eds. Sergei S. Goncharov, Yuri G. Evtushenko. Omsk, 2020. URL: https://ceur-ws.org/Vol-2642/paper10.pdf 

31.   Gaivin J. A necessary and sufficient regularity condition to have bounded multipliers in nonconvex programming // Math. Progr. 1977. Vol. 12. P. 136–138. doi: 10.1007/BF01593777

32.   Hiriart-Urruty J.-B., Lemarèchal C. Convex analysis and minimization algorithms I. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 431 p. doi: 10.1007/978-3-662-02796-7

Поступила 13.06.2023

После доработки 14.08.2023

Принята к публикации 21.08.2023

Хамисов Олег Валерьевич
д-р физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
зав. отделом
Институт систем энергетики им Л.А. Мелентьева СО РАН
г. Иркутск
e-mail: khamisov@isem.irk.ru

Ссылка на статью: О.В. Хамисов. Оптимизация функции оптимального значения в задачах выпуклого параметрического программирования // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2023. Т. 29, № 3. С. 247-260

English

O.V. Khamisov. Optimization of the optimal value function in problems of convex parametric programming

We consider a problem of convex parametric programming in which the objective function and the constraint functions are convex functions of an outer parameter. Computational procedures are suggested for finding the maximal and minimal values of the optimal value function and for finding inner and outer approximations of the set of parameters for which the problem is consistent. All procedures are based on the application of support functions. Illustrative examples are provided.

Keywords: parametric optimization, optimal value function, support function, inner and outer approximation

Received June 13, 2023

Revised August 14, 2023

Accepted August 21, 2023

Funding Agency: This work was carried out under the state task project no. FWEU-2021-0006 (registration number АААА-А21-121012090034-3).

Oleg V. Khamisov, Dr. Phys.-Math. Sci., Melentiev Energy Systems Institute of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: khamisov@isem.irk.ru

Cite this article as: O.V. Khamisov. Optimization of the optimal value function in problems of convex parametric programming. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 3, pp. 247–260 .

[References -> on the "English" button bottom right]