УДК 517.977
MSC: 93C15, 93B03, 34A37, 49N25, 93C27, 49K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-183-203
Для кинематической модели "машина Дубинса" широко известно описание двумерного множества достижимости на плоскости геометрических координат в момент $t_f>0$, если скалярное управление на промежутке $[0,t_f]$ ограничено по модулю заданным числом $\nu>0$. В работе к такому ограничению добавлено интегральное ограничение на расход модуля управления. При условии $\nu{t_f}\,\leq\,2\pi$ получено эффективное описание границы множества достижимости. Исследована структура границы. Ее характерные участки определяются тремя типами экстремальных управлений, удовлетворяющих принципу максимума Понтрягина. Двойное ограничение проявляется в том, что для двух из трех типов экстремальных движений, специфичных для данной задачи, вместо прямой переключения на плоскости геометрических координат возникает полоса, внутри которой управление является нулевым. Посредством численного моделирования проведено сравнение множеств достижимости с двойным ограничением на управление с множествами достижимости для рассматриваемых ограничений по отдельности.
Ключевые слова: машина Дубинса, геометрическое ограничение на управление, импульсное ограничение, комбинированное ограничение, двумерное множество достижимости, принцип максимума Понтрягина, параметрическое описание границы, численное моделирование
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Нелинейный синтез управлений при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1476–1484.
2. Gusev M.I. Computing the reachable set boundary for an abstract control system: revisited // Ural Math. J. 2023. Vol. 9, no. 2. P. 99–108. https://doi.org/10.15826/umj.2023.2.008
3. Huseyin A., Huseyin N., Guseinov K.G. Approximations of the set of trajectories, attainable sets, and integral funnel of a control system with integral and geometric constraints on the control functions // Electr. J. Diff. Equat. 2026. Vol. 2026, no. 27. P. 1–22. https://doi.org/10.58997/ejde.2026.27
4. Cockayne E.J., Hall G.W.C. Plane motion of a particle subject to curvature constraints // SIAM J. Control Optim. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 197–220. https://doi.org/10.1137/0313012
5. Бердышев Ю.И. Нелинейные задачи последовательного управления и их приложение / Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2015. 193 с. ISBN: 978-5-8295-0381-9 .
6. Бузиков М.Э., Галяев А.А. Перехват подвижной цели машиной Дубинса за кратчайшее время // Автоматика и телемеханика. 2021. № 5. С. 3–19. https://doi.org/10.31857/S0005231021050019
7. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при импульсном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 164–182. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-1-164-182
8. Пацко В.С., Трубников Г.И., Федотов А.А. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при геометрическом и интегральном ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. С. 162–180. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-fon-05
9. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.
10. Галеев Э.М., Зеликин М.И., Конягин С.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Осмоловский Н.П., Протасов В.Ю., Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Оптимальное управление; ред.: Н.П. Осмоловский, В.М. Тихомиров. Москва: МЦНМО, 2008. 320 с. ISBN: 978-5-94057-367-8
11. Гусев М.И. Асимптотика множеств достижимости при двойных ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. 2026. С. 57–70.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-3-57-70
Поступила 14.05.2026
После доработки 17.06.2026
Принята к публикации 22.06.2026
Пацко Валерий Семенович
канд. физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: patsko@imm.uran.ru
Трубников Георгий Игоревич
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: jora_it@mail.ru
Федотов Андрей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: andreyfedotov@mail.ru
Ссылка на статью: В.С. Пацко, Г.И. Трубников, А.А. Федотов. Двумерное множество достижимости машины Дубинса при двойном ограничении на управление: геометрическом и импульсном // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 183–203
English
V.S. Patsko, G.I. Trubnikov, A.A. Fedotov. Two-dimensional reachable set of the Dubins car under double constraint on control: geometric and impulse
For the kinematic model of the Dubins car, a well-known description of the two-dimensional reachable set in the plane of geometric coordinates at the instant $t_f>0$ is provided if the scalar control on the interval $[0,t_f]$ is modulo bounded to a given number $\nu>0$. In this paper, an integral constraint on the control module's consumption is added to this geometric constraint. Under the condition $\nu{t_f} \leq 2\pi$, an effective description of the reachable set boundary is obtained. The structure of the boundary is investigated. Its characteristic regions are determined by three types of extremal controls satisfying Pontryagin maximum principle. The double constraint is expressed in the fact that for two of the three types of extremal motions specific to this problem, instead of a switching line, a stripe appears in the plane of geometric coordinates within which the control is zero. Using numerical simulation, a comparison of reachable sets with a double control constraint was made with reachable sets for the constraints considered separately.
Keywords: Dubins car, geometric constraint on control, impulse constraint, combined constraint, two-dimensional reachable set, Pontryagin maximum principle, parametric description of the boundary, numerical modeling
Received May 14, 2026
Revised June 17, 2026
Accepted June 22, 2026
Valerii Semenovich Patsko, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: patsko@imm.uran.ru
Georgii Igorevich Trubnikov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: jora_it@mail.ru
Andrey Anatol’evich Fedotov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia,
e-mail: andreyfedotov@mail.ru
Cite this article as: V.S. Patsko, G.I. Trubnikov, A.A. Fedotov. Two-dimensional reachable set of the Dubins car under double constraint on control: geometric and impulse. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 3, pp. 183–203.
[References -> on the "English" button bottom right]
