First Online 2026
УДК 514.85+531.36
MSC: 53B50, 70G60, 74H35, 65P99
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-04
Full Text
В статье рассматривается двумерная механическая система с одной голономной связью, которая имеет изолированную особенность. Конфигурационное пространство для голономной системы вблизи особой точки состоит из двух пересекающихся кривых на плоскости. Для описания движения вблизи особенности можно применить методы реализации голономных связей. В данной работе для моделирования динамики одна голономная связь (двусторонняя) заменяется на две близкие неудерживающие связи (односторонние). Контакт изображающей точки со связью моделируется с помощью модели ударного импульса. Данный способ физической реализации голономных связей описывает движение одной из вершин механизма внутри направляющей или желоба постоянной ширины. После замены координат две неудерживающие связи приводятся к стандартной форме. Вблизи регулярных точек кривые связей становятся двумя параллельными прямыми. В окрестности особой точки кривые связей соответствуют двум гиперболам. Для анализа движения вблизи заданной точки делается переход к масштабным координатам и масштабному времени, или “микромасштабу”. Показано, что свободное движение в микромасштабе приближается равномерным прямолинейным движением. Для случая регулярной точки показано, что движение с импульсными ударами в микромасштабе является периодическим. Для случая особой точки типа двух пересекающихся прямых на плоскости получено, что в микромасштабе при удалении от особой точки движение становится похожим на регулярное движение. Вблизи начала координат область возможного движения системы делится на четыре регулярные части и одну сингулярную часть, или “сингулярный квадрат”. Для перехода из одной регулярной области в другую непрерывная траектория должна пройти через сингулярный квадрат. Доказано, что в стандартном методе с неудерживающими связями система не остается на связи вблизи сингулярного квадрата и переходит на свободное движение. Записаны уравнения импульсных ударов траектории об ограничивающие гиперболы, которые позволяют построить достаточно точную траекторию в микромасштабе. Полученные траектории движения не всегда согласуются с “ожидаемыми” траекториями голономных систем.
Ключевые слова: голономные связи, особая точка, многообразия с особенностями, множители Лагранжа, реализация голономных связей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П., Товстик П.Е., Солтаханов Ш.Х., Филиппов С.Б., Петрова В.И. Теоретическая и прикладная механика. В 2 т. Том I: Общие вопросы теоретической механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2022. 560 с. ISBN 978-5-288-06214-8.
2. Wojtyra M., Frączek J. Solvability of reactions in rigid multibody systems with redundant nonholonomic constraints // Multibody System Dynamics. 2013. Vol. 30. P. 153–171. https://doi.org/10.1007/s11044-013-9352-0
3. Zlatanov D., Bonev I.A., Gosselin C.M. Constraint singularities as C-space singularities // Advances in Robot Kinematics. Dordrecht: Springer, 2002. P. 183–192. https://doi.org/10.1007/978-94-017-0657-5_20
4. Hogan S.J., Kristiansen K.U. On the regularization of impact without collision: the PainlevДe paradox and compliance // Proc. Royal Soc. A: Math., Phys. Engin. Sci. 2017. Vol. 473, no. 2202. Art. no. 20160773. https://doi.org/10.1098/rspa.2016.0773
5. Dupont P.E., Yamajako S.P. Jamming and wedging in constrained rigid-body dynamics // Proc. 1994 IEEE Inter. Conf. Robotics and Automation. San Diego, CA, USA: IEEE, 1994. P. 2349–2354. https://doi.org/10.1109/ROBOT.1994.350935
6. Rubin H., Ungar P. Motion under a strong constraining force // Commun. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10, no. 1. P. 65–87. https://doi.org/10.1002/CPA.3160100103
7. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54, № 5. С. 858–861.
8. Takens F. Motion under influence of a strong constraining force // Global theory of Dynamics Systems. Ser. Lecture Notes in Math., vol. 819. Berlin: Springer-Verlag, 1980. P. 425–445. https://doi.org/10.1007/BFb0087006
9. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями // Прикл. математика и механика. 1988. Т. 52, № 6. С. 883–894.
10. Burov A.A. On particularities of the realization of unilateral constraints with piecewise smooth boundaries // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2024. Vol. 20, no. 4. P. 481–491. https://doi.org/10.20537/nd241201
11. Flores P., Ambrósio J. Revolute joints with clearance in multibody systems // Computers & Structures. 2004. Vol. 82, no. 17–19. P. 1359–1369. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.03.031
12. Erkaya S., Uzmay I. Experimental investigation of joint clearance effects on the dynamics of a slider-crank mechanism // Multibody Syst. Dyn. 2010. Vol. 24, no. 1. P. 81–102. https://doi.org/10.1007/s11044-010-9192-0
13. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001. 320 с. ISBN 5-94052-041-3.
14. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.
15. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит, 2002. 256 c. ISBN 978-5-9221-0277-3.
16. Бурьян С.Н. Силы реакции и силы трения в динамике систем с геометрическими особенностями // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11, вып. 4. С. 755–771. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.411
17. Бурьян С.Н. Движение модельной системы вблизи пересекающихся кривых // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. С. 38–54. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-38-54
Поступила 14.04.2026
После доработки 17.05.2026
Принята к публикации 25.05.2026
Опубликована онлайн 8.06.2026
Бурьян Сергей Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Государственный научно-исследовательский институт прикладных проблем
г. Санкт-Петербург
e-mail: burianserg@yandex.ru
Ссылка на статью: С.Н. Бурьян. Динамика двумерной механической системы с двумя неудерживающими связями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 4.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-04
English
S. N. Burian. Dynamics of a two-dimensional mechanical system with two unilaterial constraints.
This article considers a two-dimensional mechanical system with a single holonomic constraint that has an isolated singularity. The configuration space for the holonomic system near the singularity consists of two intersecting curves on a plane. To describe motion near the singularity, it is proposed to use methods for implementing holonomic constraints. In order to model the dynamics, one holonomic (two-sided) constraint is replaced by two closely spaced unilateral (one-sided) constraints. This method for physically implementing holonomic constraints could describe the motion of one of the mechanism’s vertices within a guide of constant width. After smooth replacing the coordinates, the two unilateral constraints are reduced to standard form. The constraint curves become two parallel straight lines near regular points. The constraint curves correspond to two hyperbolas near a singular point. New coordinates and scaled time, the so-called “microscale” are introduced to analyze motion near some point. It is shown that free motion on the microscale is approximated by uniform rectilinear motion. For a regular point, it is shown that motion with impulsive impacts on the microscale is periodic. For a singular point such as two intersecting lines on a plane it is found that the motion becomes more like regular motion with increasing distance from the singular point. Near the origin, the region of possible motion of the system is divided into four regular parts and one singular region, or “singular square”. To pass from one regular region to another, a continuous trajectory must pass through the singular square. It is proven that in the standard approach with unilateral constraints, the system does not remain constrained near the singular square and transitions to free motion. For such motion, equations are written for impulsive impacts of the trajectory on bounding hyperbolas. This allow one to construct accurate trajectory on the microscale. The resulting trajectories do not always agree with the “expected” trajectories of holonomic systems.
Keywords: holonomic constraints, singular point, manifolds with singularities, Lagrange multipliers, realization of holonomic constraints
Received April 14, 2026
Revised May 17, 2026
Accepted May 25, 2026
Published online June 08, 2026
Sergey Nikolaevich Burian, Cand. Sci (Phys.-Math.), State Research Institute of Applied Problems, St.Petersburg, 191167 Russia, e-mail: burianserg@yandex.ru .
Cite this article as: S.N.Burian. Dynamics of a two-dimensional mechanical system with two unilaterial constraints. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2026.
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-4-fon-04
