УДК 514.85+531.36
MSC: 53B50, 70G60, 74H35, 70H09
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-61-76
В статье рассматривается движение двумерной механической системы вблизи конфигурационного пространства, которое локально устроено как две пересекающиеся прямые на плоскости. Точка пересечения прямых является геометрической особенностью. Движение голономной механической системы вблизи пересечения прямых не описывается уравнениями Лагранжа второго рода, так как нет однозначных обобщенных координат. Для анализа движения системы применяется метод с реализацией сил реакций голономных связей с помощью сил упругости с большим параметром жесткости. Раннее в литературе метод реализации связей рассматривался для систем с гладким конфигурационным пространством, но он также применим и для систем с геометрическими особенностями. Данный метод позволяет составить уравнения движения для конечного параметра жесткости. Поэтому возможно изучение поведения траекторий при возрастании жесткости упругого потенциала. Для особенности типа двух пересекающихся прямых показано, что для консервативных механических систем в окрестности особой точки существует сингулярный квадрат. Любая траектория, которая пересекает окрестность особой точки, должна походить через сингулярный квадрат. Получены уравнения движения системы в масштабе сингулярного квадрата. Показано, что при движении к особенности вдоль первой прямой в большинстве случаев можно “забыть” о существовании второй прямой, например, если начальный вектор скорости касается многообразия связей. Но если начальный вектор скорости имеет достаточно большую ортогональную компоненту, то траектория системы может “зависать” вблизи сингулярного квадрата. Механическая система периодически выходит и возвращается в сингулярный квадрат, что затрудняет анализ условий выхода из окрестности особой точки.
Ключевые слова: голономные связи, особая точка, многообразия с особенностями, множители Лагранжа, реализация голономных связей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Zlatanov D., Fenton R.G., Benhabib B.A. Unifying framework for classification and interpretation of mechanism singularities // J. Mech. Des.. 1995. Vol. 117, no. 4. P. 566–572. https://doi.org/10.1115/1.2826720
2. Ларюшкин П.А. Классификация и условия возникновения особых положений в механизмах параллельной структуры // Изв. высш. уч. заведений. Машиностроение. 2017. T. 1 (682). С. 16–23. https://doi.org/110.18698/0536-1044-2017-1-16-23
3. Husty M.L., Walter D.R. Mechanism constraints and singularities — The algebraic formulation // Singular Configurations of Mechanisms and Manipulators / eds. A. Müller, D. Zlatanov. Ser. CISM International Centre for Mechanical Sciences; vol. 589. Cham: Springer, 2019. https://doi.org/10.1007/978-3-030-05219-5_4
4. Zlatanov D., Bonev I.A., Gosselin C.M. Constraint singularities as C-space singularities // Advances in Robot Kinematics / eds. J. Lenarčič F. Thomas. Dordrecht: Springer, 2002. P. 183–192. https://doi.org/10.1007/978-94-017-0657-5_20
5. Самсонов В.А., Селюцкий Ю.Д., Михалев А.А. Об особенностях равновесий критических систем // Современные проблемы математики и механики. Том VII. Математика. Механика. Вып. 1. К 190-летию П.Л. Чебышева. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 151–160.
6. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Москва: ВИНИТИ, 1985. 304 с.
7. Eldering J. Realizing nonholonomic dynamics as limit of friction forces // Regul. Chaot. Dyn. 2016. Vol. 21. P. 390–409. https://doi.org/10.1134/S156035471604002X
8. Rubin H., Ungar P. Motion under a strong constraining force // Commun. Pure Appl. Math. 1957. Vol. 10. P. 65–87. https://doi.org/10.1002/CPA.3160100103
9. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей // Прикл. математика и механика. 1990. Т. 54, № 5. С. 858–861.
10. Takens F. Motion under influence of a strong constraining force // Global Theory of Dynamics Systems / Z. Nitecki, C. Robinson. Berlin; Heidelberg; Springer, 1980. P. 425–445. https://doi.org/10.1007/BFb0087006
11. Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П., Товстик П.Е., Солтаханов Ш.Х., Филиппов С.Б., Петрова В.И. Теоретическая и прикладная механика. В 2 т. Том I: Общие вопросы теоретической механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2022. 560 с. ISBN 978-5-288-06213-1 (общий). ISBN 978-5-288-06214-8 (1-й том).
12. Бурьян С.Н. Движение модельной системы вблизи пересекающихся кривых // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. С. 38–54. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-2-38-54
13. Бурьян С.Н. Силы реакции и силы трения в динамике систем с геометрическими особенностями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11 (69), № 4. С. 755–771. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.411
14. Burov A.A. On particularities of the realization of unilateral constraints with piecewise smooth boundaries // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2024. Vol. 20, no. 4. P. 481–491. https://doi.org/10.20537/nd241201
15. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями // Прикл. математика и механика. 1988. Т. 52, № 6. С. 883–894.
16. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Москва: Физматлит, 2002. 256 c. ISBN 978-5-9221-0277-3.
17. Lubich C., Weiss D. Numerical integrators for motion under a strong constraining force // Multiscale Modeling & Simulation. 2014. Vol. 12, no. 4. P. 1592–1606. https://doi.org/10.1137/14096092X
Поступила 24.11.2025
После доработки 16.01.2026
Принята к публикации 19.01.2026
Бурьян Сергей Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Государственный научно-исследовательский институт прикладных проблем,
г. Санкт-Петербург
e-mail: burianserg@yandex.ru
Ссылка на статью: С.Н. Бурьян. Движение двумерной механической системы вблизи сингулярного квадрата // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026.. С. 61-76
English
S.N. Burian. Motion of a two-dimensional mechanical system near a singular square
This article considers the motion of a two-dimensional mechanical system near a configuration space which is locally structured as two intersecting lines on a plane. The intersection point of the lines is a geometric singular point. The motion of a holonomic mechanical system near the intersection of the lines is not described by means of Lagrange’s equations of the second kind because there are no well-defined generalized coordinates. In order to analyze the system’s motion, a method is used which implements the reaction forces of holonomic constraints using elastic forces with a large stiffness parameter. Previously, this method of implementing constraints was considered for systems with a smooth configuration space, but it is also could be applied to systems with geometric singularities. This method allows one to derive equations of motion for a finite stiffness parameter. Therefore, it is possible to study the behavior of trajectories with increasing stiffness of the potential. For a singularity of two intersecting lines, it is shown that for conservative mechanical systems, a “singular square” exists in the neighborhood of the singular point. Any trajectory that intersects the neighborhood of the singular point must pass through the singular square. Equations of motion for the system on the scale of a singular square are obtained. It is shown that for motion toward a singular point along the first line, in most cases the existence of the second line could be “forgotten”, for example, if the initial velocity vector is tangent to the constraints manifold. However, if the initial velocity vector has a sufficiently large “orthogonal” component, the system’s trajectory can “hang” near the singular square. The mechanical system periodically exits and returns to the singular square, which complicates the analysis of the conditions for “exiting” from the neighborhood of the singular point.
Keywords: holonomic constraints, singular point, manifolds with singularities, Lagrange multipliers, realization of holonomic constraints
Received November 24, 2025
Revised January 16, 2026
Accepted January 19, 2026
Sergey Nikolaevich Burian, Cand. Sci (Phys.-Math.), State Research Institute of Applied Problems, St. Petersburg, 191167 Russia, e-mail: burianserg@yandex.ru
Cite this article as: S.N. Burian. Motion of a two-dimensional mechanical system near a singular square. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 61–76.
