УДК 517.988.68
MSC: 65J22, 68U10
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-1-44-60
Рассматривается задача локализации (определения положения) линий разрыва для функции двух переменных. Предполагается, что функция является гладкой вне линий разрыва, а в каждой точке на линиях испытывает разрыв первого рода. Точная функция неизвестна, однако известна информация о возмущенной функции. Рассматривается случай, когда возмущения таковы, что проблема оказывается некорректно поставленной. Построен новый класс регуляризующих методов с адаптивной областью усреднения. Введен класс корректности, содержащий фрактальные линии разрыва, на котором исследуется задача. Поскольку границы природных объектов на изображениях, как правило, имеют фрактальную природу, то исследование методов на такого рода линиях имеет важное значение. Построен геометрический фрактал с большой хаусдорфовой размерностью, для которого удается проверить все условия на линии разрыва. Получены гарантированные оценки точности локализации линий разрыва на введенном классе корректности.
Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линия разрыва, глобальная локализация, дискретизация, условие Липшица, фрактал, размерность Хаусдорфа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.
2. Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.
3. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.
4. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. (Издание 3-е исправленное и дополненное). М.: Техносфера, 2012. 1104 с.
5. Mafi M., Rajaei H., Cabrerizo M., Adjouadi M. A robust edge detection approach un the presence of high impulse noise intensity through switching adaptive median and fixed weighted mean filtering // IEEE Trans. on image processing. 2018. Vol. 27, no. 11. P. 5475–5489. doi:10.1109/TIP.2018.2857448
6. Mozerov M.G., van de Weijer J. Improved recursive geodesic distance computation for edge preserving filter // IEEE Trans. on image processing, 2017. Vol. 26, no. 8. P. 3696–3706. doi:10.1109/TIP.2017.2705427
7. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О локализации негладких линий разрыва функции двух переменных”, // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. C. 9–23. doi:10.21538/0134-4889-2019-25-3-9-23.
8. Агеев А.Л., Антонова Т.В. О локализации фрактальных линий разрыва по зашумленным данным // Изв. вузов. 2023. Т. 25, № 9. С. 27–44. doi: 10.26907/0021-3446-2023-9-27-44.
9. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М: Постмаркет, 2000. 352 с.
Поступила 19.01.2026
После доработки 26.01.2026
Принята к публикации 2.02.2026
Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru
Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. Методы с адаптивной областью усреднения для локализации фрактальных линий разрыва // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 1. С. 44-60
English
A.L. Ageev, T.V. Antonova. Methods with adaptive averaging domain for localizing fractal break lines
The problem of localization (determination of the position) of discontinuity lines for a function of two variables is considered. It is assumed that the function is smooth outside the discontinuity lines, and at each point on the lines it experiences a discontinuity of the first kind. The exact function is unknown, but information about the perturbed function is known. The case is considered where the perturbations are such that the problem is ill-posed. A new class of regularizing methods with an adaptive averaging domain is constructed. A well-posedness class containing fractal discontinuity lines is introduced, on which the problem is studied. Since the boundaries of natural objects in images are typically fractal in nature, studying methods on such lines is important. A geometric fractal with high Hausdorff dimension is constructed, for which all conditions on the discontinuity line can be verified. Guaranteed estimates of the accuracy of localization of discontinuity lines on the introduced correctness class are obtained.
Keywords: ill-posed problems, regularization method, discontinuity line, global localization, discretization, Lipschitz condition, fractal, Hausdorff dimension
Received January 19, 2026
Revised January 26, 2026
Accepted February 2, 2026
Alexander Leonidivich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru
Tatiana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: tvantonova@imm.uran.ru
Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. Methods with adaptive averaging domain for localizing fractal break lines. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 1, pp. 44–60.
