УДК 515.124.3
MSC: 34G25, 34A08, 34A60
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-260-280
Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 25-11-00056), https://rscf.ru/project/25-11-00056/.
В настоящей работе исследуется топологическая структура множества решений задачи Коши для полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $\alpha\in (1,2)$ в банаховых пространствах. Предполагается, что линейная часть включений является линейным замкнутым оператором, порождающим сильно непрерывное и равномерно ограниченное семейство косинус оператор-функций. Нелинейная часть представлена полунепрерывным сверху многозначным оператором типа Каратеодори. Устанавливается, что множество решений задачи является $R_{\delta}$-множеством. Работа имеет следующую структуру. После введения приводятся необходимые предварительные сведения из теорий многозначных отображений, мер некомпактности, дробного анализа, а также семейства косинус оператор-функций. Третий раздел посвящен вспомогательным результатам. В четвертом разделе доказываются ряд лемм и главное утверждение в работе (теорема 2). В заключительном разделе в качестве примера применения полученных результатов рассматривается обобщенная периодическая задача для полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $\alpha\in (1,2).$
Ключевые слова: топологическая структура, $R_\delta$-множество, дифференциальное включение, дробная производная, семейство косинус оператор-функций, многозначное отображение, уплотняющий мультиоператор
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier Science B.V., North-Holland Mathematics Studies, 2006. 540 p.
2. Podlubny I. Fractional differential equations. San Diego: Acad. Press, 1999. 340 p.
3. Mainardi F., Rionero S., Ruggeri T. Probability distributions generated by fractional diffusion equations. 2007. 46 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.0704.0320
4. Обуховский В.В., Петросян Г.Г., Сорока М.С. О начальной задаче для невыпуклозначных дифференциальных включений дробного порядка в банаховом пространстве // Мат. заметки. 2024. Т. 115, № 3. C. 392–407. https://doi.org/10.4213/mzm13750
5. Петросян Г.Г. О краевой задаче для класса дифференциальных уравнений дробного порядка типа Ланжевена в банаховом пространстве // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2022. Т. 32, № 3. C. 415–432. https://doi.org/10.35634/vm220305
6. Benedetti I., Obukhovskii V., Taddei V. On generalized boundary value problems for a class of fractional differential inclusions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. Vol. 20. P. 1424–1446.
https://doi.org/10.1515/fca-2017-0075
7. Гомоюнов М.И. К теории дифференциальных включений с дробными производными Капуто // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. P. 1419–1432. https://doi.org/10.1134/S0374064120110011
8. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Об оптимальной обратной связи в линейно-квадратичной задаче оптимального управления системой дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2023. T. 59, № 8.
С. 1110–1122. https://doi.org/10.31857/S0374064123080101
9. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Построение решений задач управления линейными системами дробного порядка на основе аппроксимационных моделей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. T. 26, № 1. С. 39–50. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-1-39-50
10. Ke T.D., Obukhovskii V., Wong N.C., Yao J.C. On a class of fractional order differential inclusions with infinite delays // Applicable Anal. 2013. Vol. 92, no. 1. P. 115–137. https://doi.org/10.1080/00036811.2011.601454
11. Kamenskii M.I., Obukhoskii V.V., Petrosyan G.G., Yao J.C. Boundary value problems for semilinear differential inclusions of fractional order in a Banach space // Applicable Anal. 2017. Vol. 97. no. 4. P. 571–591. https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1277583
12. Aronszajn N. Le correspondant topologique de l’unicité dans la theorie des equations differentielles // Annals of mathematics, second series. 1942. Vol. 43, no. 4. P. 730–738. [in French] https://doi.org/10.2307/1968963
13. Górniewicz L. On the solution sets of differential inclusions // J. Math. Anal. Appl. 1986. Vol. 113, no. 1. P. 235–244. https://doi.org/10.1016/0022-247X(86)90347-1
14. Филиппов В.В. О теореме Ароншайна // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 1. С. 75–79.
15. Górniewicz L. Topological fixed point theory of multivalued mappings, 2nd edt. Ser. Topological Fixed Point Theory and Its Applications. Dordrecht: Springer, 2006. 538 p. https://doi.org/10.1007/1-4020-4666-9
16. Djebali S., Górniewicz L., Ouahab A. Solution sets for differential equations and inclusions. De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 18. Berlin: Walter de Gruyter, 2012. 453 p. https://doi.org/10.1515/9783110293562
17. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces. Berlin; NY: Walter de Gruyter, 2001. 232 p. https://doi.org/10.1515/9783110870893
18. Петросян Г.Г. О топологической структуре множества решений задачи Коши для дифференциальных включений дробного порядка с полунепрерывной сверху правой частью // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2025. Т. 522. С. 33–39.
https://doi.org/10.31857/S2686954325020064
19. Kamenskii M.I., Obukhoskii V.V., Petrosyan G.G. A continuous dependence of a solution set for fractional differential inclusions of an order $q \in(1,2)$ on parameters and initial data // Lobachevskii J. Math. 2023. Vol. 44, no. 8. P. 3331–3342. https://doi.org/10.1134/S1995080223080243
20. Sova M. Cosine operator functions. Ser. Rozprawy Mat., vol. 49. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966. 47 p.
21. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Книжный дом “Либроком”, 2011. 224 с.
22. Hyman D.H. On decreasing sequences of compact absolute retracts // Fund. Math. 1969. Vol. 64, no. 1.
P. 91–97.
23. Zhou Y., He J.W. New results on controllability of fractional evolution systems with order $\alpha \in (1,2)$ // Evol. Eq. Control Theory. 2021. Vol. 10, no. 3. P. 491–509. https://doi.org/10.3934/eect.2020077
24. Петросян Г.Г. О системах управления, описываемых дифференциальными включениями дробного порядка с обратной связью // Дифференц. уравнения. 2025. Т. 60, № 11. С. 1499–1518. https://doi.org/10.31857/S0374064124110067
25. He J.W., Liang Y., Ahmad B., Zhou Y. Nonlocal fractional evolution inclusions of order $\alpha \in (1,2)$ // Mathematics. 2019. Vol. 7, no. 2. P. 1–17. https://doi.org/10.3390/math7020209
26. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2014. 443 p.
Поступила 12.08.2025
После доработки 7.09.2025
Принята к публикации 15.09.2025
Петросян Гарик Гагикович
канд. физ.-мат. наук, доцент
ведущий научный сотрудник
НИИ математики, ФГБОУ ВО Воронежский государственный университет
г. Воронеж
e-mail: garikpetrosyan@yandex.ru
Ссылка на статью: Г.Г. Петросян. О $R_{\delta}$-структуре множества решений задачи Коши для полулинейных дифференциальных включений дробного порядка $\alpha\in (1,2)$ в банаховых пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 260–280
English
G.G. Petrosyan. On the $R_{\delta}$-structure of the solution set of the Cauchy problem for semilinear differential inclusions of fractional order $\alpha\in (1,2)$ in Banach spaces
In this paper, we study the topological structure of a solution set to the Cauchy problem for semilinear differential inclusions of fractional order $\alpha(1, 2)$ in Banach spaces. It is assumed that the linear part of the inclusions is a linear closed operator generating a strongly continuous and uniformly bounded family of cosine operator functions. The nonlinear part is represented by a upper semicontinuous multivalued operator of Caratheodory type. It is established that the set of solutions to the problem is an $R_\delta$-set.The paper has the following structure. After the introduction, we present the necessary preliminary information from the theories of multivalued mappings, measures of noncompactness, fractional analysis, and the family of cosine operator functions. The third section is devoted to auxiliary results. In the next section, a number of lemmas and the main result of the paper (Theorem 2) are proved. In the final section, as an example of applying the obtained results, a generalized periodic problem for semilinear differential inclusions of fractional order $\alpha\in (1,2)$ is considered.
Keywords: topological structure, $R_\delta$-set, differential inclusion, fractional derivative, family of cosine operator functions, multivalued map, condensing multioperator
Received August 12, 2025
Revised September 7, 2025
Accepted September 15, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project № 25-11-00056, https://rscf.ru/project/25-11-00056/.
Garik Gagikovich Petrosyan, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Leading Researcher, Research Institute of Mathematics, Voronezh State University, Voronezh, 394018 Russia, e-mail: garikpetrosyan@yandex.ru
Cite this article as: G.G. Petrosyan. On the $R_{\delta}$-structure of the solution set of the Cauchy problem for semilinear differential inclusions of fractional order $\alpha\in (1,2)$ in Banach spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 260–280.
