УДК 515.16
MSC: 57M27, 57M25
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-203-213
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 25-21-20084, https://rscf.ru/project/25-21-20084/).
Статья посвящена построению вихревой группы зацепления. Эта группа является корректно определенным инвариантов для ориентированных зацеплений в трехмерной сфере. Описывается, как каждой диаграмме зацепления на двумерной сфере сопоставляется группа, заданная своими образующими и соотношениями: в качестве образующих выступают как перекрестки диаграммы, так и еще два дополнительных формальных символа, а области, на которые диаграмма разбивает двумерную сферу, играют роль соотношений. Доказывается, что группы, сопоставленные различным диаграммам одного и того же зацепления, изоморфны. Редуцированная вихревая группа получается из вихревой группы тривиализацией двух конкретных образующих. Доказывается, что эта группа допускает сбалансированное копредставление. Конструкция редуцированной вихревой группы близка к одному из определений полинома Александера зацепления. Доказывается, что, порядок абелианизированной редуцированной вихревой группы совпадает с определителем зацепления.
Ключевые слова: зацепление, вихревая группа, определитель зацепления
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бардаков В.Г., Михальчишина Ю.А., Нещадим М.В. Группы виртуальных зацеплений // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 5. С. 989–1003. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.503
2. Бардаков В.Г., Нещадим М.В. Группы узлов и нильпотентная аппроксимируемость // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2017. Т. 23, № 4. С. 43–51.
3. Manturov V.O., Nikonov I.M. On braids and groups $G_n^k$ // J. Knot Theory and Its Ramific. 2015. Vol. 24, no. 13. https://doi.org/doi.org/10.1142/S0218216515410096
4. Manturov V.O., Fedoseev D.A., Kim S., Nikonov I.M. On groups $G_n^k$ and $\Gamma^k_n$ : A study of manifolds, dynamics, and invariants // Bulletin of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 11, no. 02.
5. Korablev Ph.G. Electric group for knots and links. 2024. 15 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2408.04510
6. Матвеев С.В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов // Мат. сб. 1982. Т. 161, № 1. С. 78–88. https://doi.org/10.1070/SM1984v047n01ABEH002630
7. Joyce D. A classifying invariant of knots, the knot quandle // J. Pure Appl. Algebra. 1982. Vol. 23. P. 37–65. https://doi.org/10.1016/0022-4049(82)90077-9
8. Polyak M. Minimal generating sets of Reidemeister moves // Quantum Topology. 2010. Vol. 1, no. 4. P. 399–411. https://doi.org/10.4171/QT/10
9. Rolfsen D. Knots and Links. AMS Chelsea Publishing, Providence, 2003.
10. Alexander J.W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. Vol. 30, no. 2. P. 275–306. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1928-1501429-1
11. Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967.
12. Lin X.S., Nelson S. On generalized knot groups // J. Knot Theory and Its Ramific. 2008. Vol. 17, no. 3. P. 263–272. https://doi.org/10.1142/S0218216508006117
13. Wada M. Group invariants of links // Topology. 1992. Vol. 31, no. 2. P. 399–406. https://doi.org/10.1016/0040-9383(92)90029-H
14. Михальчишина Ю.А. Обобщения представлений вады и группы виртуальных зацеплений // Сиб. мат. журн. 2017. Т 58, № 3. C. 641–659. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.313
Поступила 5.06.2025
После доработки 2.06.2025
Принята к публикации 13.08.2025
Кораблёв Филипп Глебович
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург;
доцент
Челябинский государственный университет, г. Челябинск
e-mail: korablev@csu.ru
Ссылка на статью: Ф.Г. Кораблёв. Вихревая группа для узлов и зацеплений в трехмерной сфере // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. №1, № 4. С. 203-213
English
Ph.G. Korablev. Vortex group for knots and links in a 3-sphere
The article is devoted to the construction of a vortex group. This group is a well defined invariant for oriented links in a 3-sphere. It is defined by using generators and relations. The generators are both the crossings of the diagram and two additional formal symbols, while the regions into which the diagram divides the 2-sphere play the role of the relations. It is proved that groups constructed for different diagrams of the same link are isomorphic. A reduced vortex group is obtained from a vortex group by trivialising two specific generators. It is proved that this group allows a balanced presentation. The construction of the reduced vortex group is close to one of the definitions of the Alexander polynomial for links. It is proved that the order of the abelianized reduced vortex group coincides with the determinant of the link.
Keywords: link, vortex group, link determinant
Received May 4, 2025;
Revised June 2, 2025;
Accepted August 13, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project № 25-21-20084, https://rscf.ru/project/25-21-20084/.
Philipp Glebovich Korablev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: korablev@csu.ru
Cite this article as: Ph.G. Korablev. Vortex group for knots and links in a 3-sphere. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 203–213.
