УДК 519.83
MSC: 91A60, 91B30, 90C15
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-229-243
Задача выбора оптимальных стратегий для случая, когда второй игрок представлен множеством лиц, принимающих решения, рассматривается в рамках иерархической игры со случайным вторым игроком. Предполагается, что выбор второго игрока описывается взвешенной суммой независимых одинаково распределенных случайных величин. В качестве критерия выбора решения первым игроком используется параметрический квантильный критерий (Value at Risk). Модель может использоваться для обоснования выбора стратегии крупной компании (первого игрока) на основе анализа отклика клиентов, представленных несколькими неоднородными по объему группами ЛПР (вторым игроком). Постановка задачи близка к игре с природой, однако здесь отклик второго игрока представлен не одной случайной величиной, а взвешенной суммой независимых случайных величин. При использовании первым игроком квантильного критерия в отличие от критерия среднего значения на его решение влияют не только параметры распределения отклика, но и веса, которые отражают количество и неоднородность по объему потребителей, представляющих второго игрока. Предполагается, что эти весовые коэффициенты точно не заданы, а неоднородость по объему описывается следующими параметрами: максимальной и минимальной долями отдельного ЛПР в общем объеме, а также общим числом лиц, принимающих решение. Получена оценка наибольшей возможной дисперсии взвешенной суммы случайных величин в зависимости от этих параметров. Задачи с квантильным критерием обычно решаются при фиксированном значении вероятности, однако выбор вероятности, как правило, не обосновывается. Предлагается находить решение задачи параметрической максимизации наихудшей квантили, которая в рассматриваемых условиях сводится к выбору максимума из линейных функций. Построен алгоритм решения задачи оптимизации с параметрическим квантильным критерием, рассмотрены модельные примеры.
Ключевые слова: выбор стратегии, игра со случайным вторым игроком, игра с природой, квантильный критерий, оценка риска, неполная информация, наименьшая квантиль, оценка дисперсии
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чернов В.Г. Выбор решения в конфликтной ситуации с нечеткими типами участников// Искусственный интеллект и принятие решений. 2022. № 4, С. 24–35. https://doi.org/10.3103/S0147688223060047
2. Иванов С.В., Мерзликина С.Д. Поиск равновесий по Нэшу в биматричных играх с вероятностными и квантильными функциями выигрышей // Автоматика и телемеханика. 2021. № 12. С. 105–124. https://doi.org/10.31857/S0005231021120072
3. Лабскер Л.Г. Свойство синтезирования критерия Вальда — Сэвиджа и его экономическое приложение // Экономика и математические методы. 2019. T. 55, № 4. С. 89–103. https://doi.org/10.31857/S042473880006775-1
4. Тимофеева Г.А., Завалищин Д.С. Игра со случайным вторым игроком и ее приложение к задаче о выборе цены проезда // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. 2021. Т. 57. С. 170–180. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2021-57-08
5. Ватник П.А. Теория риска. СПб.: СПбГИЭУ, 2009. 156 с. ISBN: 978-5-88996-914-3 .
6. Dentcheva D., Ruszczyński A. Risk-averse optimization and control. Cham: Springer, 2024. 502 р. (Springer Series in Operations Research and Financial Engineering.) https://doi.org/10.1007/978-3-031-57988-2
7. Горелик В.А., Золотова Т.В. Методы нахождения оптимальных смешанных стратегий в матричных играх с коррелированными случайными выигрышами // Чебышев. сб. 2023. T. 24, №. 4. C. 33–47. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-4-33-47
8. Rockafellar R.T., Uryasev S. Conditional value-at-risk for general loss distributions // J. Bank. Finance. 2002. Vol. 26, no. 7. P. 1443–1471. https://doi.org/10.2139/ssrn.267256
9. Pathy S.R., Rahimian H. Value of risk aversion in perishable products supply chain management // Comput. Optim. Appl. 2024. Vol. 89. P. 517–552. https://doi.org/10.1007/s10589-024-00593-5
10. Иванов С.В., Кибзун А.И., Акмаева В.Н. Параметрический алгоритм поиска гарантирующего решения задачи квантильной оптимизации // Автоматика и телемеханикаю 2023. № 8. С. 73–87. https://doi.org/10.31857/S0005231023080056
11. Кан Ю.С., Кибзун А.И. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. Москва: Физматлит, 2009. 372 с. ISBN 978-5-9221-1148-5 .
12. Тимофеева Г.А., Хазимуллин А.Д. Вероятностное моделирование поведения грузоотправителей при оценке программ лояльности на железнодорожном транспорте // Транспорт Урала. 2023. Т. 79. № 4. С. 34–40. https://doi.org/10.20291/1815-9400-2023-4-34-40
13. Бродецкий Г.Л. Моделирование логистических систем: оптимальные решения в условиях риска СПб.: Вершина, 2006. 376 с. ISBN 5-9626-0086-Х .
14. Растворцева С.Н., Манаева И.В. Закон Ципфа в городах России: анализ новых показателей // Экономика региона. 2020. Т. 16. № 3. С. 935–947. https://doi.org/10.17059/ekon.reg.2020-3-20
15. Ultsch Alfred, Jіrn Lіtsch Computed ABC analysis for rational selection of most informative variables in multivariate data// PLOS One. 2015. Vol. 10(6): e0129767. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0129767
16. Timofeeva G. Investigation of mathematical model of passenger preferences// AIP Conf. Proc. 2019. Vol. 2172. Art. no. 080001. 8 p. https://doi.org/10.1063/1.5133559
Поступила 20.02.2025
После доработки 2.04.2025
Принята к публикации 7.04.2025
Тимофеева Галина Адольфовна
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Уральский государственный университет путей сообщения;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: gtimofeeva@usurt.ru
Ссылка на статью: Г.А. Тимофеева. Выбор стратегии по максиминному квантильному критерию в игре компании с несколькими группами клиентов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2. C. 229-243
English
G.A. Timofeeva. Choosing a strategy based on the maximin quantile criterion in a game of a company with several groups of clients
The problem of choosing optimal strategies for the case in which the second player is represented by a set of decision makers is considered within the framework of a hierarchical game with a random second player. It is assumed that the second player’s choice is described by a weighted sum of independent identically distributed random variables. The parametric quantile criterion (Value at Risk) is used as a criterion for the choice of the solution by the first player. The model can be used to justify the choice of strategy of a large company (the first player) based on the analysis of customer response, represented by several heterogeneous groups of decision makers (the second player). The problem statement is closely related to a game with nature; however, the response of the second player is not represented by a single random variable in this case, but rather by a weighted sum of independent random variables. When the quantile criterion is used by the first player, in contrast to the mean value criterion, the player’s decision is influenced not only by the parameters of the response distribution but also by the weights that reflect the number and heterogeneity in volume of consumers representing the second player. It is assumed that these weighting coefficients are not precisely specified, and the heterogeneity in volume is described by the following parameters: the maximum and minimum shares of an individual decision maker in the total volume, as well as the total number of decision makers. An estimate of the greatest possible variance of a weighted sum of random variables, depending on these parameters, is obtained. Problems with a quantile criterion are usually solved with a fixed probability value, but the choice of probability is not typically justified. It is proposed to find a solution to the problem of parametric maximization of the worst quantile, which under the considered conditions reduces to choosing the maximum from linear functions. An algorithm for solving an optimization problem with a parametric quantile criterion is constructed, and model examples are considered.
Keywords: choice of strategy, game with a random second player, game with nature, quantile criterion, Value at Risk, incomplete information, least quantile, variance estimation
Received February 20, 2025
Revised April 2, 2025
Accepted April 7, 2025
Galina Adol’fovna Timofeeva, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural State University of Railway Transport, Yekaterinburg, 620034 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: gtimofeeva@usurt.ru
Cite this article as: G.A. Timofeeva. Choosing a strategy based on the maximin quantile criterion in a game of a company with several groups of clients. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, p. 229–243.
