УДК 519.217.1
MSC: 47D99, 60J99
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-2-215-228
Статья опубликована при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
В работе вводятся классы однородных марковских процессов со свойством Бебутова — Феллера — слабо почти периодических (почти периодических). В терминах введенной топологии на пространстве операторов Бебутова — Феллера это означает, что замыкание полугруппы переходных операторов марковского процесса является компактной полутопологической (соответственно, топологической) полугруппой. Установлены критерии принадлежности к этим классам. Доказан результат, касающийся асимптотического поведения переходных операторов из данных классов. В смысле введенной топологии на пространстве операторов Бебутова — Феллера это означает приближение (в определенном смысле) к ядру упомянутой выше компактной полугруппы. Ядро полугруппы в данном случае является компактной абелевой группой. Для получения приближающего элемента группы переходный оператор умножается (справа или слева) на единицу группы. Описана структура оператора-идемпотента (проектора); в частности, это применимо к единице группы. Структуру ядра можно описать следующим образом. Для единицы группы строится разбиение консервативной части фазового пространства на “элементарные” множества, замкнутые инвариантные. Производя “укрупнение” состояний — выбирая в качестве “укрупненных” состояний “элементарные” множества, строим переходный оператор, действующий на новом фазовом пространстве “укрупненных” состояний. Этот оператор является детерминированным — он отвечает некоторому преобразованию из группы гомеоморфизмов нового фазового пространства на себя.
Ключевые слова: однородные марковские процессы, феллеровское свойство, полугруппа переходных операторов, меры Радона, полутопологическая полугруппа, топологическая полугруппа, ядро полугруппы, замкнутые инвариантные множества, консервативная часть фазового пространства
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformation // Ann. Math. 1952. Vol. 55, no. 3. P. 468–519.
2. Бебутов М.В. Цепи Маркова с компактным пространством состояний // Докл. АН СССP. 1941. Т. 30, № 6. C. 480–481.
3. Beboutoff М. Markoff chains with a compact state space // Sb. Math. 1942. Vol. 52, no. 3. P. 213–238.
4. Kryloff N., Bogoliouboff N. La théorie générale de la mesure dans son application a l’étude des systémes dynamiques de la mécanique non linéaire // Ann. Math. 1937. Vol. 38, no. 1. P. 65–113. https://doi.org/10.2307/1968511
5. Da Prato G. An introduction to infinite-dimensional analysis. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006. 208 p. https://doi.org/10.1007/3-540-29021-4
6. Zaharopol R. Invariant probabilities of Markov–Feller operators and their supports. Basel: Birkhäuser, 2005. 113 p. https://doi.org/10.1007/b98076
7. Skorokhod A.V. Homogeneous Markov chains in compact spaces // Theory Stoch. Process. 2007. Vol. 13(29), no. 3. P. 80–95.
8. Gong F. Z., Liu Y. Ergodicity and asymptotic stability of Feller semigroups on Polish metric spaces // Sci China Math. 2015. Vol. 58. https://doi.org/10.1007/s11425-015-4971-y
9. Hille S.C., Szarek T., Worm D.T.H., Ziemlańska M.A. Equivalence of equicontinuity concepts for Markov operators derived from a Schur-like property for spaces of measures // Statistics & Probability Letters. 2021. Vol. 169. Art. no. 108964. https://doi.org/10.1016/j.spl.2020.108964
10. Liu Y., Liu Z. Relation between the eventual continuity and the E-property for Markov–Feller semigroups // Acta Math. Appl. Sinica. 2024. Vol. 40, no. 1. P. 1–16. https://doi.org/10.1007/s10255-023-1072-5
11. Berglund J.F., Hofmann K.H. Compact semitopological semigroups and weakly almost periodic functions. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1967. 165 p. https://doi.org/10.1007/BFb0073920
12. Смирнов С.Н. Об асимптотическом поведении феллеровских цепей // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, № 3. C. 554–558.
13. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.
14. Rosenblatt M. Equicontinuous Markov operators // Теория вероятности и ее применения. 1964. Т. 9, № 2. С. 205–222.
15. Smirnov S.N. A probabilistic note on the Cauchy functional equation // Aequat. Math. 2019. Vol. 93. P. 445–449. https://doi.org/10.1007/s00010-018-0575-2
16. Ellis R. Locally compact transformation groups // Duke Math. J. 1957. Vol. 24, no. 2. P. 119–125. https://doi.org/10.1215/s0012-7094-57-02417-1
17. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонические анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975. 656 с.
18. Knight F. B. On the absolute difference chains // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. 1978. Vol. 43. P. 57–63. https://doi.org/10.1007/BF00535276
19. Келли Дж Л. Общая топология М.: Наука, 1981. 431 c.
20. Смирнов С.Н. Феллеровское переходное ядро с носителями мер, заданными многозначным отображением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. С. 219–227. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2019-25-1-219-228
21. Foguel S. R. Dissipative Markov operators and the Dirichlet problem // Indiana Univ. Math. J. 1980. Vol. 29, no. 1. P. 13–19.
22. Sine R.C. Geometric theory of a single Markov operator // Pacifie J. Math. 1968. Vol. 27, no. 1. P. 155–166.
23. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986. 751 с.
Поступила 10.02.2025
После доработки 21.03.2025
Принята к публикации 24.03.2025
Смирнов Сергей Николаевич
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры системного анализа
факультет вычислительной математики и кибернетики
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: s.n.smirnov@gmail.com
Ссылка на статью: С.Н. Смирнов. Структура почти периодических полугрупп операторов Бебутова — Феллера // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 2 C. 215–228
English
S.N. Smirnov. The structure of almost periodic semigroups of Bebutov–Feller operators
In this paper, we introduce classes of homogeneous Markov processes satisfying the Bebutov–Feller property, specifically weakly almost periodic and almost periodic processes. In terms of the topology defined on the space of the Bebutоv–Feller operators, this means that the closure of the semigroup of transition operators for a Markov process forms a compact semitopological (or, in the case of almost periodic processes, a topological) semigroup. We establish criteria for processes to belong to these classes and provide a result concerning the asymptotic behavior of their transition operators. In terms of the topology introduced on the space of Bebutov–Feller operators, this result describes an approximation (in a specific sense) using the kernel of the aforementioned compact semigroup. Notably, the kernel of this semigroup is identified as a compact Abelian group. To derive an approximating element of this group, the transition operator is multiplied (either from the right or the left) by the group identity. The structure of the idempotent operator (or projector) is also characterized, which is particularly useful given that the identity of the group is itself idempotent. The structure of the kernel can be further detailed as follows: for the group identity, the conservative part of the phase space is partitioned into “elementary” sets that are both closed and invariant. By considering these “elementary” sets as “enlarged” states, we construct a transition operator that acts on the redefined phase space consisting of these enlarged states. This operator is deterministic and corresponds to a specific spatial transformation belonging to the group of autohomeomorphisms of the new phase space.
Keywords: homogeneous Markov processes, Feller property, semigroup of transition operators, Radon measures, semi-topological semigroup, topological semigroup, kernel of semigroup, closed invariant sets, conservative part of phase space
Received February 10, 2025
Revised March 21, 2025
Accepted March 24, 2025
Funding Agency: The paper was published with the financial support of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation as part of the program of the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics under the agreement no. 075-15-2022-284.
Sergey Nikolayevich Smirnov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: s.n.smirnov@gmail.com
Cite this article as: Sergey N. Smirnov. The structure of almost periodic semigroups of Bebutov–Feller operators. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 2, pp. 215–228.
