УДК 517.977.1
MSC: 3H05, 93C15, 93B03, 93B52
DOI: 10.21538/0134-4889-2026-32-3-221-235
Работа выполнена за счет государственного задания в рамках темы “Эволюционные и динамические управляемые системы: теория, численные методы, приложения” (шифр научной темы FWEW-2026-0011, № госрегистрации 126021217177-7).
В сепарабельном банаховом пространстве рассматривается нелинейная управляемая система. Ограничением на управление является многозначное отображение с зависящими от времени и состояния выпуклыми компактными значениями. Наряду с исходной системой рассматривается система, у которой значениями ограничения на управление являются крайние (экстремальные) точки значений исходного многозначного отображения. Под решением системы понимается пара — траектория и управление. Решения второй системы мы называем экстремальными. Доказываются существование решений обеих систем и компактность множества решений исходной системы, установлена плотность (релаксация) множества экстремальных решений во множестве решений исходной системы. Этот результат является аналогом свойства релейности (bang-bang property) для линейных управляемых систем в конечномерном пространстве.
Ключевые слова: крайние (экстремальные) точки, радиальная проекция, релаксация
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bellman R., Glicksberg L., Gross O. On the “bang-bang” control problem // Quart. Appl. Math. 1956. Vol.14, no. 1. P. 11–18.
2. Красовский Н.Н. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. Т 18, № 1. С. 960–970.
3. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Изв. АН ССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, № 4. С. 449–474.
4. La Salle J.P. The time optimal control problem // Contribution to the theory of nonlinear oscillations. Vol. V. Princeton: Princeton Univ. Press. 1960. P. 1–24.
5. Sonneborn M., Van Vleck F.S. The bang-bang principle for linear control systems // J. SIAM Control. Ser. A. Vol. 2, no. 2. 1964. P. 151–159.
6. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 p.
7. Толстоногов А.А. Об опорных функциях выпуклых компактов // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 4.
С. 203–213.
8. Himmelberg C.J. Measurable relations // Fund. math. 1975. Vol. 87. P. 53–72.
https://doi.org/10.4064/fm-87-1-53-72
9. Tolstonogov A. Differential inclusions in a Banach space. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2000. https://doi.org/10.1007/978-94-015-9490-5
10. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. Ekvac. 1967. Vol. 10. P. 205–223.
11. Gutman S. Topological equivalence the space of integrable vector-valued functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 93, no. 1. P. 40–42.
12. Maligranda L. Simple norm inequalities // Amer. Math. Monthly. 2006. Vol. 113, no. 3. P. 256–260. https://doi.org/10.1080/00029890.2006.11920303
Поступила 25.02.2026
После доработки 13.04.2026
Принята к публикации 20.04.2026
Толстоногов Александр Александрович
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
заведующий отделением
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова
Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН)
г. Иркутск
e-mail: alexander.tolstonogov@gmail.com
Ссылка на статью: А.А. Толстоногов. Экстремальные решения нелинейной управляемой системы: существование и релаксация // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 3. С. 221–235
English
A.A. Tolstonogov. Extreme solutions of a nonlinear control system: existence and relaxation
A nonlinear controlled system in a separable Banach space is considered. The control constraint is given by a set-valued map with time- and state-dependent convex compact values. Alongside the original system, we study an associated system in which the control constraint takes values equal to the extreme points of the values of the original set-valued mapping. A solution of the systems is a pair consisting of a trajectory and a control. Solutions of the second system are called extreme. We prove the existence of solutions to both systems and the compactness of the set of solutions to the original one. Moreover, we establish the density (relaxation) of the set of extreme solutions in the set of solutions to the original system. This result is analogous to the bang–bang property for linear controlled systems in finite-dimensional spaces.
Keywords: extreme points, radial proection, relaxation
Received February 25, 2026
Revised April 13, 2026
Accepted April 20, 2026
Funding Agency: The research was carried out at the expense of the state assignment within the framework of the topic ”Evolutionary and Dynamic Controlled Systems: Theory, Numerical Methods, and Applications” (scientific code FWEW-2026-0011, No. registration 126021217177-7).
Aleksandr Aleksandrovich Tolstonogov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding member of RAS, Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: alexander.tolstonogov@gmail.com
Cite this article as: A.A. Tolstonogov. Extreme solutions of a nonlinear control system: existence and relaxation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 3, pp. 221–235.
[References -> on the "English" button bottom right]
