УДК 512.5
MSC: 20G15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-4-77-83
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ, cоглашение № 075-02-2024-1447.
Система $\sigma=(\sigma_{ij}), 1\leq{i, j}\leq{n},$ аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ поля $K$ называется сетью (ковром) над $K$ порядка $n$, если $\sigma_{ir} \sigma_{rj}\subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i, r, j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. По элементарной сети $\sigma$ определяется элементарная сетевая подгруппа $E(\sigma)$, которая порождается элементарными трансвекциями $t_{ij}(\alpha) = e+\alpha e_{ij}$. Элементарная сеть $\sigma$ называется замкнутой, если подгруппа $E(\sigma)$ не содержит новых элементарных трансвекций. Пусть $R$ — нетерова область с QR-свойством (то есть всякое промежуточное подкольцо, лежащее между $R$ и его полем частных $K$, является кольцом частных кольца $R$ относительно мультипликативной системы из $R$), $\sigma=(\sigma_ {ij})$ — полная (элементарная) сеть порядка $n\geq 2$ (соответственно $n\geq 3$) над $K$, причем аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ — ненулевые $R$-модули. Доказано, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все $\sigma_{ij}$ являются (дробными) идеалами фиксированного промежуточного подкольца $P$, $R\subseteq P \subseteq K$, причем для всех $i< j$ выполняются включения $\pi_{ij}\pi_{ji}\subseteq P, \ \pi_{ij}\subseteq P\subseteq \pi_{j i}$. В частности, элементарная сеть $\sigma$ является замкнутой.
Ключевые слова: общая и специальная линейные группы, полная и элементарная сети (ковры) аддитивных подгрупп, сетевая подгруппа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gilmer R., Ohm J. Integral domains with quatient overrings // Math. Ann. 1964 Bd. 153, no. 2. pp. 97–103.
2. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. 1978. Т. 75. С. 22–31.
3. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 4. С. 421–434.
4. The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / eds. V.D. Mazurov, E.I. Khukhro. 20th ed. Novosibirsk: Inst. Math. SO RAN Publ., 2022. 269 p. URL: https://kourovka-notebook.org/ .
5. Койбаев В.А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 134–141.
6. Куклина С.К., Лихачева А.О., Нужин Я.Н. О замкнутости ковров лиева типа над коммутативными кольцами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. С. 192–196.
7. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. М.: Мир, 1972. 160 c.
8. Дряева Р.Ю., Койбаев В.А., Нужин Я.Н. Полные и элементарные сети над полем частных кольца главных идеалов // Зап. науч. семинаров ПОМИ РАН. 2017. Т. 455. С. 42–51.
9. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971. 707 с.
Поступила 23.01.2024
После доработки 24.08.2024
Принята к публикации 2.09.2024
Дряева Роксана Юрьевна
старший преподаватель
Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ
e-mail: dryaeva-roksana@mail.ru
Койбаев Владимир Амурханович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ;
ведущий науч. сотрудник
Южный математический институт ВНЦ РАН, г. Владикавказ
e-mail: koibaev-K1@yandex.ru
Ссылка на статью: Р.Ю. Дряева, В.А. Койбаев. Полные и элементарные сети над полем частных кольца с QR-свойством // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 4. С. 77-83
English
R.Yu. Dryaeva, V.A. Koibaev. Full and elementary nets over the field of fractions of a ring with the QR-property
The set $\sigma=(\sigma_{ij})$, $1\leq{i, j}\leq{n},$ of additive subgroups $\sigma_{ij}$ of a field $K$ is called a net (carpet) over $K$ of order $n$ if $\sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ for all values of the indices $i$, $r$, and $j$. A net considered without the diagonal is called an elementary net. Based on an elementary net $\sigma$, an elementary net subgroup $E(\sigma)$ is defined, which is generated by elementary transvections $t_{ij}(\alpha) = e+\alpha e_{ij}$. An elementary net $\sigma$ is called closed if the subgroup $E(\sigma)$ does not contain new elementary transvections. Suppose that $R$ is a Noetherian domain with the QR-property (i.e., any intermediate subring lying between $R$ and its field of fractions $K$ is a ring of fractions of the ring $R$ with respect to a multiplicative system in $R$), $\sigma=(\sigma_{ij})$ is a complete (elementary) net of order $n\geq 2$ ($n\geq 3$, respectively) over $K$, and the additive subgroups $\sigma_{ij}$ are nonzero $R$-modules. It is proved that, up to conjugation by a diagonal matrix, all $\sigma_{ij}$ are (fractional) ideals of a fixed intermediate subring $P$, $R\subseteq P \subseteq K$, and the inclusions $\pi_{ij}\pi_{ji}\subseteq P$ and $\pi_{ij}\subseteq P\subseteq\pi_{j i}$ hold for all $i<j$. In particular, the elementary net $\sigma$ is closed.
Keywords: general and special linear groups, full and elementary nets (carpets) of additive subgroups, net subgroup
Received January 23, 2024
Revised August 24, 2024
Accepted September 2, 2024
Funding Agency: The work was performed with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2024-1447).
Roksana Yurievna Dryaeva, North-Ossetian State University named after K. L. Khetagurov, Vladikavkaz, 362025 Russia, e-mail: dryaeva-roksana@mail.ru
Vladimir Amurkhanovich Koibaev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., North-Ossetian State University named after K. L. Khetagurov, Vladikavkaz, 362025 Russia; Southern Mathematical Institute VSC RAS, Vladikavkaz, 362025 Russia, e-mail: koibaev-K1@yandex.ru
Cite this article as: R.Yu. Dryaeva, V.A. Koibaev. Full and elementary nets over the field of fractions of a ring with the QR-property. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 4, pp. 77–83.
[References -> on the "English" button bottom right]
