П.Ю. Глазырина, Н.С. Паюченко. О неравенстве Колмогорова для первой и второй производной на оси и периоде ... С. 84-95

УДК 517.51

MSC: 39B62

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-84-95

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-31-90124.

В работе изучается неравенство $\|y'\|_{L_q(G)}\le K(r,p,G) \|y\|_{L_r(G)}^{1/2}\|y''\|_{L_p(G)}^{1/2}$ на вещественной оси $G=\mathbb {R}$ и периоде $G=\mathbb{T}$ для значений параметров $q\in [1,\infty)$, $r\in (0, \infty]$, $p\in[1, \infty ]$,   $1/r+1/p=2/q$. Доказано,  что точная константа $K(r,p,\mathbb {R})$ равна точной константе $K_1$ в  неравенстве $\|u'\|_{L_q[0,1]}\le K_1 \|u\|_{L_r[0,1]}^{1/2} \|u''\|_{L_p[0,1]}^{1/2}$ по множеству  выпуклых на $[0,1]$ функций $u$,  имеющих абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющих условию $u'(0)=u(1)=0.$  Как следствие этого  утверждения  равенство $K(r,p,\mathbb {R})=K(r,p,\mathbb{T})$, установленное в  2003 г. В.Ф. Бабенко, В.А. Кофановым и С.А. Пичуговым для $r\ge 1$, распространено на $r\ge 1/2.$ Также для $p=1$, $r\in[1,\infty)$ получено новое доказательство равенства $K(r,1,\mathbb {R})=(r+1)^{1/(2(r+1))}$  $q=2r/(r+1)$, установленного в 1975 г.  В.В. Арестовым и В.И. Бердышевым.

Ключевые слова: Неравенство Колмогорова, неравенства для норм функций и их производных, точные константы, вещественная ось, период

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124. doi: 10.4213/rm1019 

2.   Арестов В.В., Бердышев В.И. Неравенства для дифференцируемых функций // Методы решения условно-корректных задач: сб. науч. тр. Свердловск: Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР, 1975. Вып. 17. C. 108–138.

3.   Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Сравнение точных констант в неравенствах для производных на вещественной прямой и окружности // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, № 5. C. 579–589.

4.   Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003. 590 с.

5.   Габушин В.Н. Неравенства между производными в метриках $L_p$  при $0<p\leq \infty$ // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1976. Т. 40, вып. 4. С. 869–892.

6.   Zernyshkina E.A. Kolmogorov type inequality in $L_2$  on the real line with one-sided norm // East J. Approx. 2006. Vol. 12, no. 2. P. 127–150.

7.   Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. 352 с.

8.   Landau E. Einige Ungleichungen für zweimal differenzierbare Funktion // Proc. London Math. Soc. 1913. Vol. 13. P. 43–49. doi: 10.1112/PLMS/S2-13.1.43 

9.   Паюченко Н.С. Редукция неравенства Колмогорова для положительной срезки второй производной на оси к неравенству для выпуклых функций на отрезке // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. Т. 18, № 2. C. 1625–1638. doi: 10.33048/semi.2021.18.120 

10.   Stein E.M. Functions of exponential type // Ann. Math. 1957. Vol. 65, no. 3. P. 582–592. doi: 10.2307/1970066 

Поступила 4.04.2022

После доработки 2.05.2022

Принята к публикации 4.05.2022

Глазырина Полина Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, доцент
зав. кафедрой
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: polina.glazyrina@urfu.ru

Паюченко Никита Славич
аспирант, ассистент
Институт естественных наук и математики
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: aueiyo@gmail.com

Ссылка на статью: П.Ю. Глазырина,  Н.С. Паюченко. О неравенстве Колмогорова для первой и второй производной на оси и периоде // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 84-95

English

P.Yu. Glazyrina, N.S. Payuchenko. On Kolmogorov’s inequality for the first and second derivatives on the axis and on the period

We study the inequality $\|y'\|_{L_q(G)}\le K(r,p, G) \|y\|_{L_r(G)}^{1/2}\|y'' \|_{L_p(G)}^{1/2}$ on the real line $G=\mathbb {R}$ and on the period $\mathbb{T}$ for $q\in [1,\infty)$, $r\in (0, \infty]$, $p\in[1, \infty ]$, and $1/r+1/p=2/q$. We prove that the exact constant $K(r,p,\mathbb {R})$ is equal to the exact constant $K_1$ in the inequality $\|u'\|_{L_q[0,1]}\le K_1 \|u\|_{ L_r[0,1]}^{1/2} \|u''\|_{L_p[0,1]}^{1/2}$ over the set of convex functions $u(x)$, $x\in [0,1]$, having an absolutely continuous derivative and satisfying the condition $u'(0)=u(1)=0$. As a consequence of this statement, the equality $K(r,p,\mathbb {R})=K(r,p,\mathbb{T})$ established in 2003 by V.F. Babenko, V.A. Kofanov, and S.A. Pichugov for $r\ge 1$, is extended to $r\ge 1/2$. In addition, we give a new proof of the equality $K(r,1,\mathbb {R})=(r+1)^{1/(2(r+1))}$ for $p=1$, $r\in [1,\infty)$, and $q=2r/(r+1)$, which was established by V.V. Arestov and V.I. Berdyshev in 1975.

Keywords: Kolmogorov's inequality, inequalities for norms of functions and their derivatives, exact constants, real axis, period

Received April 4, 2022

Revised May 2, 2022

Accepted May 4, 2022

Funding Agency: The reported study was funded by RFBR, project number 20-31-90124.

Polina Yurevna Glazyrina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Docent, Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: polina.glazyrina@urfu.ru

Nikita Slavich Payuchenko, Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: aueiyo@gmail.com

Cite this article as: P.Yu. Glazyrina, N.S. Payuchenko. On Kolmogorov’s inequality for the first and second derivatives on the axis and on the period. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 84–95.

[References -> on the "English" button bottom right]