А.А. Шлепкин. Группы, насыщенные конечными простыми группами $L_3(2^n), L_4(2^l)$ ... С. 249-257

УДК 512.54

MSC: 20E25

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-249-257

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 19-71-10017).

Пусть $\mathfrak{M}$ —  некоторое множество групп. Для группы $G$ через $\mathfrak{M}(G)$ обозначим множество всех подгрупп $G$, изоморфных элементам из $\mathfrak{M}$. Говорят, что $G$ насыщена группами из $\mathfrak{M}$, если любая конечная подгруппа группы $G$ содержится в некотором элементе из $\mathfrak{M}(G)$. В работе доказывается, что если $G $-периодическая группа или группа Шункова и $G$ насыщена группами из множества $\{L_3(2^n), L_4(2^l)\mid n=1,2,\ldots;l=1,\ldots, l_0\}$, где $l_0$ фиксировано, то множество элементов конечного порядка из $G$ образует группу, изоморфную одной из групп множества $\{L_3(R), L_4(2^l)\mid l=1,\ldots, l_0\}$, где $R$ —  подходящее локально конечное поле характеристики $2$.

Ключевые слова: периодическая группа, группа Шункова, насыщенность группы множеством групп

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 464 с.

2.   Дицман А.П. О p– группах // Докл. АН СССР. № 15. 1937. C. 71–76.

3.   Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп СПб.: Лань, 2009. 287 с.

4.   Кондратьев А.С., Мазуров В.Д. 2-сигнализаторы конечных простых групп // Алгебра и логика. 2003. Т. 42, № 5. С. 594–623.

5.   The Kourovka notebook: Unsolved problems in group theory / eds. V. D. Mazurov and E. I. Khukhro. No. 19. Novosibirsk: Inst. Math. SO RAN Publ., 2018. 250 p. URL: https://kourovka-notebook.org/ 

6.   Лыткина Д.В., Мазуров В.Д. Периодические группы, насыщенные группами $L_3(2^m)$ // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, № 5. С. 606—626.

7.    Маслова Н.В., Белоусов И.Н., Минигулов Н.А. Открытые проблемы, сформулированные на XII школе-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А. Белоногова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Vol. 26, no. 3. P. 275–285. doi 10.21538/0134-4889-2020-26-3-275-285 

8.   Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 // Учен. записки ЛГУ. Сер. Математическая. 1940. № 55. С. 166–170.

9.   Сенашов В.И., Шунков В.П. Группы с условиями конечности. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. 326 с.

10.   Senashov V.I. On periodic groups of Shunkov with the Chernikov centralizers of involutions // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2020. Т. 32. P. 101–117. doi: 10.26516/1997-7670.2020.32.101 

11.   Senashov V.I. On periodic Shunkovs groups with almost layer-finite normalizers of finite subgroups // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2021. Vol. 37. p. 118–132. doi: 10.26516/1997-7670.2021.37.118 

12.   Супруненко Д.А. Группы матриц. M.: Наука, 1972. 352 с.

13.   Череп А.А. О элементах конечного порядка в бипримитивно конечных группах // Алгебра и логика. 1987. T. 26, № 4. C. 518–521.

14.   Шлепкин А.А. Группы Шункова, насыщенные линейными и унитарными группами степени 3 над полями нечетных порядков // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 341–351. doi: 10.17377/semi.2016.13.029 

15.   Шлепкин А.А., Сабодах И.В. О двух свойствах группы Шункова // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2021. Т. 35. P. 103–119. doi: 10.26516/1997-7670.2021.35.103 

16.   Шлепкин А.К. О сопряженно бипримитивно конечных группах с условием примарной минимальности // Алгебра и логика. 1983. Т. 22, № 2. С. 232–231.

17.   Шлепкин А.К. О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами // Мат. тр. 1998. T. 1, № 1. C. 129–138.

18.   Шунков В.П. О периодических группах с почти регулярной инволюцией // Алгебра и логика. 1972. Т. 11, № 4. С. 470–494.

Поступила 8.01.2022

После доработки 20.03.2022

Принята к публикации 28.03.2022

Шлепкин Алексей Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
доцент
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: shlyopkin@mail.ru

Ссылка на статью: А.А. Шлепкин. Группы, насыщенные конечными простыми группами $L_3(2^n), L_4(2^l)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 249-257

English

A.A. Shlepkin. Groups saturated with finite simple groups $L_3(2^n)$ and $L_4(2^l)$

Let $\mathfrak{M}$ be a certain set of groups. For a group $G$, we denote by $\mathfrak{M}(G)$ the set of all subgroups of $G$ that are isomorphic to elements of $\mathfrak{M}$. A group $G$ is said to be saturated with groups from $\mathfrak{M}$ if any finite subgroup of $G$ is contained in some element of $\mathfrak{M}(G)$. We prove that if $G$ is a periodic group or a Shunkov group and $G$ is saturated with groups from the set $\{L_3(2^n), L_4(2^l)\mid n=1,2,\ldots; l=1,\ldots, l_0\},$ where $l_0$ is fixed, then the set of elements of finite order from $G$ forms a group isomorphic to one of the groups from the set $\{L_3 (R), L_4(2^l)\mid l=1,\ldots, l\}$, where $R$ is an appropriate locally finite field of characteristic $2$. %The work is dedicated to the fond memory of Vyacheslav Aleksandrovich Belonogov.

Keywords: periodic group, Shunkov group, saturation of a group with a set of groups

Received January 8, 2022

Revised March 20, 2022

Accepted March 28, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10017).

Aleksei Anatolievich Shlepkin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: shlyopkin@mail.ru

Cite this article as: A.A. Shlepkin. Groups saturated with finite simple groups $L_3(2^n)$ and $L_4(2^l)$. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 249–257.

[References -> on the "English" button bottom right]