А.А. Горепекина, М.М. Сорокина. $\bar\omega$-спутники $\bar\omega$-веерных формаций конечных групп ... С. 106-113

УДК 512.542

MSC: 20D10, 20F17

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-106-113

Рассматриваются только конечные группы. Понятие $\omega$-локальной формации групп, где $\omega$ — непустое множество простых чисел, является известным обобщением понятия локальной формации. Для произвольного разбиения $\sigma$ множества всех простых чисел   А.Н. Скиба разработал $\sigma$-теорию конечных групп и применил ее методы для построения  $\sigma$-локальных формаций. Введенная в рассмотрение В.А. Ведерниковым концепция $\omega$-веерности  для классов групп позволила построить бесконечную серию $\omega$-веерных формаций, при этом $\omega$-локальные формации составили один из видов данной серии. В настоящей работе рассматриваются $\bar\omega$-веерные формации групп, где $\bar\omega$ — произвольное разбиение множества $\omega$, построенные на основе $\sigma$-подхода А.Н. Скибы, примененного к $\omega$-веерным формациям. Пусть  $f\colon\bar{\omega} \cup \{\bar{\omega}'\} \rightarrow \{$формации групп$\}$ и $\gamma \colon\bar{\omega} \rightarrow \{$непустые формации Фиттинга групп$\}$ — функции,  причем $f(\bar{\omega}') \not = \varnothing$, а  класс  групп $\gamma (\omega_{i})$ содержит все ${\omega_{i}}'$-группы для любого $\omega_{i} \in \bar{\omega}$. Формация $\frak F = (G \in \frak G~ \vert ~ G/O_{\omega}(G) \in f(\bar{\omega}')$ и $G/G_{\gamma (\omega_{i})} \in f (\omega_{i})$ для любого $\omega_{i} \in \bar{\omega} \cap \pi  (G))$ называется $\bar{\omega}$-веерной формацией с направлением $\gamma$ и $\bar{\omega}$-спутником $f$. В работе изучаются внутренние $\bar\omega$-спутники $\bar\omega$-веерных формаций, т. е. $\bar\omega$-спутники, все значения которых содержатся в рассматриваемой формации. Решены следующие задачи: доказано существование канонического $\bar\omega$-спутника $\bar\omega$-веерной формации; получено описание строения максимального внутреннего  $\bar\omega$-спутника $\bar\omega$-веерной формации.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, $\bar\omega$-веерная формация, направление $\bar\omega$-веерной формации, $\bar\omega$-спутник $\bar\omega$-веерной формации

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ведерников В.А. О новых типах $\omega$-веерных формаций конечных групп // Украiнський математичный конгресс – 2001. Секцiя 1 (Киiв, 2002):  Працi. С. 36–45.

2.   Ведерников В.А., Сорокина М.М. $\omega$-Веерные формации и классы Фиттинга конечных групп // Мат. заметки. 2002. Т. 71, № 1. C. 43–60.

3.   Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ им. П.М. Машерова, 2012. 322 с.

4.   Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.

5.   Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно $\omega$-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Мат. тр. 1999. Т. 2, № 2. C. 114–147.

6.   Сорокина М.М., Горепекина А.А. $\omega$-Веерные формации конечных групп // Чебышевский сб. 2021. Т. 22, № 3. C. 232–244. doi: 10.22405/2226-8383-2021-22-3-232-244 

7.   Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. Минск: Наука и техника, 1964. 158 с.

8.   Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 с.

9.   Шеметков Л.А. О произведении формаций // Докл. АН БССР. 1984. Т. 28, № 2. С. 101–103.

10.   Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. 256 с.

11.   Carter R., Hawkes T. The $\frak F$-normalizers of a finite soluble group // J. Algebra. 1967. Vol. 5, no. 2. P. 175–202. doi: 10.1016/0021-8693(67)90034-8 

12.   Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. Berlin; NY: Walter de Gruyter, 1992. 891 p.

13.   Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Vol. 80, no. 4. P. 300–305. doi: 10.1007/BF01162386 

14.   Schmid P. Formationen und Automorphismengruppen // J. London Math. Soc. 1973. Vol. 7, no. 1. P. 83–94. doi: 10.1112/jlms/s2-7.1.83 

15.   Skiba A.N. On $\sigma$-properties of finite groups I // Проблемы физики, математики и техники. 2014. № 4 (21). С. 89–96.

16.   Skiba A.N. On $\sigma$-properties of finite groups II // Проблемы физики, математики и техники. 2015. № 3 (24). С. 70–83.

17.   Skiba A.N. On $\sigma$-properties of finite groups III // Проблемы физики, математики и техники. 2016. № 1 (26). С. 52–62.

18.   Skiba A.N. On one generalization of the local formations // Проблемы физики, математики и техники. 2018. № 1 (34). C. 79–82.

Поступила 27.03.2022

После доработки 21.04.2022

Принята к публикации 25.04.2022

Горепекина Анастасия Андреевна
аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии
Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского
г. Брянск
e-mail: nastya3296@mail.ru

Сорокина Марина Михайловна
д-р физ.-мат. наук
профессор кафедры математического анализа, алгебры и геометрии
Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского
г. Брянск
e-mail: mmsorokina@yandex.ru

Ссылка на статью: А.А. Горепекина, М.М. Сорокина. $\bar\omega$-спутники $\bar\omega$-веерных формаций конечных групп // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 106-113

English

A.A. Gorepekina, M.M. Sorokina. $\bar\omega$-Satellites of $\bar\omega$-fibered formations of finite groups

Only finite groups are considered. The notion of $\omega$-local formation of groups, where $\omega$ is a nonempty set of primes, is a well-known generalization of the notion of local formation. For an arbitrary partition $\sigma$ of the set of all primes, A.N. Skiba developed the $\sigma$-theory of finite groups and applied its methods for constructing $\sigma$-local formations. The concept of $\omega$-fiberedness introduced by V.A. Vedernikov for classes of groups made it possible to construct an infinite series of $\omega$-fibered formations, while $\omega$-local formations formed one of the types of this series. In this paper, we study $\bar\omega$\nobreakdash-fibered formations of groups, where $\bar\omega$ is an arbitrary partition of the set $\omega$, constructed on the basis of Skiba's $\sigma$-approach applied to $\omega$-fibered formations. Consider functions $f\colon{\bar{\omega}} \cup \{\bar{\omega}'\}\rightarrow \{$formations of groups$\}$ and $\gamma\colon\bar{\omega} \rightarrow \{$nonempty Fitting formations of groups$\}$, where $f(\bar{\omega}')\not=\varnothing$ and the class of groups $\gamma(\omega_{i})$ contains all ${\omega_{i}}'$-groups for any $\omega_{i} \in \bar{\omega}$. A formation $\frak F = (G \in \frak G \vert G/O_{\omega}(G) \in f(\bar{\omega}')$ and $G/G_{\gamma (\omega_{i})} \in f (\omega_{i})$ for any $\omega_{i} \in \bar{\omega} \cap \pi (G))$ is called an $\bar{\omega}$-fibered formation with direction $\gamma$ and $\bar{\omega}$-satellite $f$. In this paper we study inner $\bar\omega$-satellites of $\bar\omega$-fibered formations, i.e., $\bar\omega$-satellites whose values are contained in the considered formation. The following problems are solved: the existence of a canonical $\bar\omega$-satellite of an $\bar\omega$-fibered formation is proved, and the structure of a maximal inner $\bar\omega$-satellite of an $\bar\omega$-fibered formation is described.

Keywords: finite group, class of groups, formation, $\bar\omega$-fibered formation, direction of an $\bar\omega$-fibered formation, $\bar\omega$-satellite of an $\bar\omega$-fibered formation

Received March 27, 2022

Revised April 21, 2022

Accepted April 25, 2022

Anastasiya Andreevna Gorepekina, doctoral student, Bryansk State University named after Academician I.G.Petrovsky, Bryansk, 241036 Russia, e-mail: nastya3296@mail.ru

Marina Mikhaylovna Sorokina, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Bryansk State University named after Academician I.G.Petrovsky, Bryansk, 241036 Russia, e-mail: mmsorokina@yandex.ru

Cite this article as: A.A. Gorepekina, M.M. Sorokina. $\bar\omega$-Satellites of $\bar\omega$-fibered formations of finite groups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 106–113.

[References -> on the "English" button bottom right]