Андрей Измайлович Субботин (К 75-летию со дня рождения) ... С. 7-11

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-7-11

Фотография А.И. Субботина

Андрей Измайлович Субботин родился 16 февраля 1945 г. в  городе  Кирове в  семье  военнослужащего. В 1962 г. он поступил на математико-механический факультет Уральского государственного университета им.А.М.Горького, где и началась его научная деятельность. В то время на факультете работали такие крупные ученые, как В.К.Иванов, П.Г.Конторович, Н.Н.Красовский, С.Н.Шиманов. Атмосфера на факультете благоприятствовала развитию научного творчества. Проводились семинары, формировались новые научные направления, создавались новые кафедры в соответствии с потребностями времени. Так, в 1965 г. Николаем Николаевичем Красовским была создана кафедра прикладной математики. Первыми сотрудниками кафедры стали молодые ученые — Э.Г.Альбрехт, А.Б.Куржанский, Ю.С.Осипов, В.Е.Третьяков, Г.С.Шелементьев.

Николай Николаевич Красовский определил научные приоритеты кафедры: они лежали в области теории устойчивости движения, качественной теории дифференциальных уравнений, теории стабилизации и теории оптимального управления.

Работы коллектива кафедры уже в тот период были хорошо известны в научных кругах.

В 50-е и 60-е годы двадцатого столетия происходило активное формирование основ математической теории оптимального управления: были созданы такие мощные методы, как принцип максимума Л.С.Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана,оказавшие существенное влияние на формирование сферы научных интересов сотрудников кафедры прикладной математики. Наряду с этим на кафедре развивались собственные подходы к исследованию и решению задач оптимального управления. Н.Н.Красовским был предложен оригинальный подход к решению задач оптимального управления, основанный на идеях и методах функционального анализа. Отметим важную роль монографии Н.Н.Красовского “Теория управления движением” (1968) в подготовке специалистов по теории управления. Исследования в этом направлении были продолжены Александром Борисовичем Куржанским, Юрием Сергеевичем Осиповым и их коллегами.

В ходе этих исследований осуществлялась постановка новых задач; к их решению привлекались наиболее способные, увлеченные наукой студенты. А.И.Субботин был одним из таких студентов. Он выделялся своими способностями практически сразу, с первых дней учебына математико-механическом факультете. Эрнст Генрихович Альбрехт, преподаватель кафедры прикладной математики, приобщил одаренного студента к научной работе. Под его руководством Андрей Измайлович опубликовал по результатам курсовой работы первую научную статью “Об управлении движением квазилинейной системы” (1968). Ему было предложено включиться в научно-исследователькую работу кафедры прикладной математики.

В это время к числу основных разработок кафедры относились задачи управления в условиях неопределенности, формализуемые как дифференциальные игры. В этой новой области А.И.Субботин проявил способность быстро вникать в суть проблем и находить оригинальные пути к их решению.

Существуют несколько подходов к формализации дифференциальных игр и путям их решений. Николаем Николаевичем Красовским и его сотрудниками развивался подход, основу которого составила формализация дифференциальных игр; ключевым здесь являлось понятие позиционного управления.

В середине 60-х годов Н.Н.Красовский сформулировал правило экстремального прицеливания. Концепция позиционной дифференциальной игры и правило экстремального прицеливания были изложены в ряде публикаций Н.Н.Красовского, и в частности в монографии “Игровые задачи о встрече движений” (1970). Значительное внимание при этом уделялось выяснению так называемых условий регулярности, при которых возможно сведение задач позиционного управления к использованию чисто программных конструкций.

С августа 1967 г., после окончания университета, Андрей Измайлович трудится в Свердловском отделении Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР (с 1971 г. — Институт математики и механики). Институт становится основным местом его работы.

Первые исследования Андрея Измайловича Cубботина в теории позиционных дифференциальных игр были посвящены изучению дифференциальных игр при наличии условия регулярности. Часть научных результатов А.И.Субботина в этом направлении были получены под руководством и при участии Н.Н.Красовского.

В ряде работ конца 60-х – начала 70-х годов А.И.Субботиным совместно с Н.Н.Красовским были изучены нелинейные дифференциальные игры в предположении стабильности множеств программного поглощения. В этих работах правило экстремального прицеливания формировалось как правило прицеливания на стабильную систему множеств программного поглощения.

В 1969 г. Николай Николаевич Красовский предложил Андрею Измайловичу представить результаты их исследований в позиционных дифференциальных играх на семинаре академика Л.С.Понтрягина. По словам участников семинара, доклад произвел сильное впечатление на Льва Семеновича Понтрягина.

В том же году А.И.Субботин защитил кандидатскую диссертацию “Задачи о встрече и уклонении в дифференциальных играх”, в которой подведены итоги первого этапа его исследований в области теории позиционных дифференциальных игр.

В 70-е годы А.И.Субботин продолжил исследования в области дифференциальных игр. Н.Н.Красовский привлек его к разработке теоретических конструкций в позиционных дифференциальных играх при достаточно общих предположениях, не требующих уже условиярегулярности. В этот период ими разрабатывался принципиально новый подход к формализации дифференциальных игр, было дано определение движений, порожденных управлениями, действующими по принципу обратной связи, введены позиционные стратегии и предложены аппроксимационные схемы, удобные для физической реализации и допускающие переход к математическим конструкциям, содержащим элементы идеализации.

В рамках данного подхода Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным был рассмотрен широкий круг нелинейных дифференциальных игр при общих предположениях на управляемую систему.

Так зарождалось новое направление в теории позиционных дифференциальных игр, ориентированное на решение задач в общей постановке. Центральным пунктом здесь является предложенный Николаем Николаевичем Красовским принцип конструирования стратегий,обеспечивающих в каждой позиции экстремальный сдвиг управляемой системы на стабильный мост. В рамках конструкций, основанных на принципе экстремального сдвига на стабильный мост, Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным был получен ряд важных результатов. Применение этих конструкций позволило им доказать ключевое для теории игр утверждение — теорему об альтернативе и тем самым установить существование равновесных решений в соответствующих классах позиционных стратегий.

К середине 70-х годов труды Андрея Измайловича Субботина были уже хорошо известны в нашей стране и за рубежом. В 1973 г. он защитил докторскую диссертацию “Экстремальные стратегии в дифференциальных играх”. Диссертация содержит основные результаты, полученные ученым в рамках экстремального подхода. В 1973 г. он становится лауреатом Золотой медали АН СССР для молодых ученых. В этот период А.И.Субботин активно руководит работой многочисленной научной молодежи.

В 1974 г. его приглашают в качестве лектора на международный конгресс математиков в Ванкувере (Канада), где им был представлен доклад “Управление в условиях конфликта и неопределенности”.

Наиболее существенные результаты исследований Н.Н.Красовского и А.И.Субботина составили монографию “Позиционные дифференциальные игры” (1974). В монографии дано подробное изложение концепции позиционных дифференциальных игр, предложеннойН.Н.Красовским, представлена строгая математическая модель позиционной игры, а также дан метод исследования этих игр, базирующийся на понятии стабильных мостов и функций. Монография являет собой важную веху в развитии математической теории управления.

В середине 70-х годов в теории дифференциальных игр зарождается новое направление — унификация дифференциальных игр. Андрей Измайлович Субботин активно поддерживал исследования по унификации, хорошо понимая их важность. Во многом благодаря его позиции работы по унификации продолжаются в Институте математики и механики.

Большое значение А.И.Субботин придавал вопросам, связанным с описанием центральной для теории дифференциальных игр функции — цены дифференциальной игры. В случае, когда цена дифференцируема, она является решением основного в теории дифференциальных игр уравнения Айзекса — Беллмана. Если же цена не является дифференцируемой функцией, возникает вопрос о нахождении определяющих соотношений для этой функции, имеющих инфинитезимальный характер. Данный вопрос был изучен Андреем Измайловичем Субботиным сначала для игровых задач динамики, в которых цена игры есть кусочно-гладкая функция, а затем и для более общих задач.

В работе А.И.Субботина “Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр” (1980) были получены необходимые и достаточные условия, описывающие свойства стабильности функции цены при помощи пары дифференциальных неравенств. С этой работыначалось построение теории минимаксных решений уравнений в частных производных.

Итоги изучения свойств функции цены дифференциальных игр подведены А.И.Субботиным в статье “Условия оптимальности гарантированного результата в игровых задачах управления”, вышедшей в сборнике трудов МИАН, приуроченном к 75-летию академика Л.С.Понтрягина (1985).

Отметим также исследования необходимых и достаточных условий для цены стохастической дифференциальной игры с частично вырожденным шумом.

Результаты исследований А.И.Субботина, посвященных структуре позиционных дифференциальных игр и обобщению основного уравнения теории дифференциальных игр, отражены в трех первых главах монографии А.И.Субботина и А.Г.Ченцова “Оптимизация гарантии в задачах управления” (1981).

Анализ работ А.И.Субботина, связанных с обобщением основного уравнения теории дифференциальных игр, показывает, что он своевременно оценил полезность использования конструкций негладкого и выпуклого анализа и внес свой вклад в разработку такого родаконструкций. Позже А.И.Субботин подобные конструкции применил при изучении уравнений в частных производных первого порядка.

В середине 80-х годов научные интересы А.И.Субботина сместились в сторону теории обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби общего вида. На основе инфинитезимальных и унификационных конструкций А.И.Субботин ввел понятие обобщенного решения уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана — Айзекса, которое позволило ему рассмотреть функцию цены как такое решение и доказать существование и единственность функции цены при общих предположениях на управляемую систему. Отметим, что приоритетным в определении обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби явилось привлечение понятия инвариантности. Эти обобщенные решения Андрей Измайлович назвал минимаксными, так как в их определении присутствовали операции минимума и максимума.

В первой половине 80-х годов М.Дж.Крэндалл, П.-Л.Лионс, Л.С.Эванс предложили иной подход к определению решений краевых задач для уравнений Гамильтона — Якоби общего вида и ввели понятие вязкостного решения уравнения Гамильтона — Якоби.

Определения минимаксного и вязкостного решений отличаются по форме друг от друга, и их эквивалентность была неочевидна. А.И.Субботину с коллегами удалось получить прямое доказательство эквивалентности минимаксных и вязкостных решений. При этом отметим, что минимаксные и вязкостные подходы удачно дополняют друг друга. Итоги исследования по теории минимаксных решений уравнения Гамильтона — Якоби А.И.Субботин подвел в монографии “Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби” (1991). В ней он изложил минимаксный подход в теории обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби. В монографии, в частности, содержится обоснование перехода от уравнения Гамильтона — Якоби к дифференциальным неравенствам. Доказаны теоремы существования, единственности и корректности минимаксных решений, изучены их свойства. Значительное внимание в монографии ученый уделил сопоставлению минимаксных и вязкостных решений уравнения Гамильтона — Якоби и обоснованию их эквивалентности.

В первой половине 90-х годов Андрей Измайлович Субботин продолжил научные исследования уравнения Гамильтона — Якоби. К ним добавились разработки по проблеме построения минимаксных решений уравнений в частных производных первого порядка. Результаты этих исследований отражены в монографии А.И.Субботина “Generalized solutions os first-order PDEs. The dynamical optimization perspective” (1995). Они опираются на методы негладкого анализа, функции Ляпунова, динамическую оптимизацию, теорию дифференциальных игр.

К числу последних относятся исследования А.И.Субботина уравнений с частными производными первого порядка, разрывных по фазовым переменным, в которых предложена концепция многозначного решения.

В заключение отметим, что свою научную работу А.И.Субботин всегда успешно совмещал с выполнением должностных обязанностей. С 1983 г. он заведовал отделом динамических систем Института математики и механики. Андрей Измайлович неизменно и вполне заслуженно был центром притяжения в отделе. Можно сказать, что он держал руку на пульсе основных, и прежде всего научных, событий, происходящих в отделе. И в целом ему были далеко небезразличны институтские дела. Он внимательно следил за научными достижениями сотрудников отдела, многим из которых он формулировал научные темы и руководил их разработкой. Неоценимую роль в поддержании высокого научного уровня отдела играли регулярные научные семинары у Андрея Измайловича. Данные семинары, вообще говоря, были не “узкопрофильными” обсуждениями с тематикой, посвященной исключительно дифференциальным играм и оптимальному управлению. Нередко на них рассматривались задачи и проблемы, возникающие в области теории дифференциальных уравнений, методов оптимизации, негладкого анализа. При этом часто с докладами выступали как российские, так и зарубежные специалисты — признанные лидеры в своих научных областях.

А.И.Субботин поддерживал регулярные научные контакты с коллегами и студентами математико-механического факультета Уральского государственного университета, читал студентам спецкурсы по теории оптимального управления, дифференциальных игр иминимаксных решений уравнений в частных производных, осуществлял научное руководство аспирантами.

Итоги научно-исследовательской деятельности Андрея Измайловича Субботина внушительны и вызывают уважение: более 100 статей и 5 монографий в области теории дифференциальных игр, уравнений Гамильтона — Якоби, оптимального управления. Его научные достижения получили широкое признание. Он лауреат Ленинской премии (1976), кавалер ордена Трудового Красного Знамени (1976), член-корреспондент Российской академии наук (1991), действительный член Российской академии наук (1997).

Список основных монографий А. И. Субботина

1.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2.   Krassovski N. et Soubbotine A. Jeux differentiels. Moscou: Mir, 1977. 446 p.

3.   Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

4.   Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. NY: Springer, 1988. 517 p.

5.   Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

6.   Subbotin A.I. Generalized solutions of first-order PDEs. The dynamical optimization perspective. Boston: Birkhäuser, 1995. 314 p.

7.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с.

Поступила 26.10.2020 

Н.Н.Субботина, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов