Н.В. Маслова, И.Н. Белоусов, Н.А. Минигулов. Открытые проблемы, сформулированные на XIII Школе-конференции по теории групп, посвященной 85-летию В.А. Белоногова ... С. 275-285

УДК: 519.17+512.54

MSC:  20-06 (Primary),  05C25, 05C50, 11R29,  20C15, 20C20, 20Dxx, 20E15, 20F50, 20F99,  52B10 (Secondary)

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-275-285

В статье представлены обзор основных событий XIII Школы-конференции по теории групп, которая прошла 3-7 августа 2020 г. в онлайн формате, и список открытых проблем с комментариями к ним.  Открытые вопросы были  сформулированы участниками школы-конференции на часе открытых проблем, состоявшемся в конце ее работы. Среди поставленных проблем серия вопросов о характеризации конечной группы ее арифметическими инвариантами, такими как спектр, граф Грюнберга - Кегеля, граф разрешимости, степени неприводимых комплексных характеров (Л.С. Казарин, А.С. Кондратьев, Н.В. Маслова), вопрос о сопряженности силовских $2$-подгрупп в локально конечных группах с дополнительными условиями на силовские $2$-подгруппы (В.Д. Мазуров), серия проблем о характеризации дистанционно регулярных графов их массивами пересечений (А.А. Махнев),  вопрос о нильпотентной длине конечной разрешимой группы, у которой подгруппа Картера совпадает с подгруппой Гашюца (В.С. Монахов), серия проблем о строении сопряженно бипримитивно конечных групп или групп Шункова (А.И. Созутов), вопрос о строении некоторых матричных групп над кольцом вычетов $\mathbb{Z}_n$, где $n$ - натуральное число (В.А. Романьков), вопрос о характеризации мазуровских троек в конечных группах (А.В. Тимофеенко) и другие открытые вопросы современной теории групп и ее приложений. Также в статье представлены  краткая биография и список основных трудов В.А. Белоногова.

Ключевые слова: конечная группа, спектр, граф Грюнберга - Кегеля, граф разрешимости, локально конечная группа, периодическая группа, силовская $2$-подгруппа, подгруппа Картера, подгруппа Гашюца, сопряженно бипримитивно конечная группа (группа Шункова),  мазуровская тройка.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Алеев Р.Ж. Единицы полей характеров и центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп // Мат. тр. 2000. T. 3, № 1. С. 3–37.

2.   Васильев А.В., Гречкосеева М.А., Мазуров В.Д. Характеризация конечных простых групп спектром и порядком // Алгебра и логика. 2009. Т. 48, № 6. С. 685–728.

3.   Дураков Б.Е. О некоторых группах 2-ранга один // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 64–68. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-64-68 .

4.   Заварницин А.В. О распознавании конечных групп по графу простых чисел // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С. 390–408. doi: 10.1007/s10469-006-0020-9 .

5.   Карпова Е.С., Тимофеенко А.В. О разбиениях усеченного икосаэдра на паркетогранники // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 2. С. 446–474. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-452-480 .

6.   Мазуров В.Д., Ольшанский А.Ю., Созутов А.И. О бесконечных группах конечного периода // Алгебра и логика. 2015. Т. 54, № 2. С. 243–251. doi: 10.17377/alglog.2015.54.207 .

7.   Мазуров В.Д., Ши В. Признак нераспознаваемости конечной группы по спектру // Алгебра и логика. 2012. Т. 51, № 2. С. 239–243. doi: 10.1007/s10469-012-9179-4 .

8.   Пряхин Ю.А. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Зап. науч. семинара ЛОМИ. 1974. Т. 45. С. 111–112.

9.   Созутов А.И. О группах с конечным энгелевым элементом // Алгебра и логика. 2019. Т. 58, № 3. C. 376–396. doi: 10.33048/alglog.2019.58.307 .

10.   Abe S., Iiyori N. A generalization of prime graphs of finite groups // Hokkaido Math. J. 2000. Vol. 29, no. 2. P. 391–407. doi:10.14492/hokmj/1350912979 .

11.   Fukuda T., Komatsu K. Weber’s class number problem in the cyclotomic ℤ2-extension of ℚ, III // Int. J. Number Theory. 2011. Vol. 7, no. 6. P. 1627–1635. doi: 10.1142/S1793042111004782 .

12.   Gorshkov I.B., Maslova N.V. The group J4 ×J4 is recognizable by spectrum // J. Algebra Its Appl. doi: 10.1142/S0219498821500614 .

13.   Linden F.J. van der. Class number computations of real abelian number fields // Math. Comput. 1982. Vol. 39, no. 160. P. 693–707. doi: 10.2307/2007347 .

14.   Masley J.M. Solution of small class number problems for cyclotomic fields // Compositio Math. 1976. Vol. 33, iss. 2. P. 179–186.

15.   Maslova N.V., Pagon D. On the realizability of a graph as the Gruenberg–Kegel graph of a finite group // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Vol. 13. P. 89–100. doi: 10.17377/semi.2016.13.007 .

16.   Mazurov V.D. A characterizations of finite nonsimple groups by the set of orders of their elements // Algebra and Logic. 1997. Vol. 36, no. 3. P. 182–192. doi: 10.1007/BF02671616 .

17.   Mazurov V.D. On generation of sporadic simple groups by three involutions two of which commute // Siberian Math. J. 2003. Vol. 44, no. 1. P. 160–164. doi: 10.1023/A:1022028807652 .

18.   Metsch K. Improvement of Bruck’s completion theorem // Designs Codes and Cryptography. 1991. Vol. 1., no. 2. P. 99–116. doi: 10.1007/BF00157614 .

19.   Metsch K. On a characterization of bilinear forms graphs // Europ. J. Comb. 1999. Vol. 20, iss. 4. P. 293–306. doi: 10.1006/eujc.1998.0280 .

20.   Miller J.C. Class numbers of totally real fields and applications to the Weber class number problem // Acta Arithmetica. 2014. Vol. 164. P. 381–397. doi: 10.4064/aa164-4-4 .

21.   Miller J.C. Class numbers of real cyclotomic fields of composite conductor // LMS J. Comput. Math. 2014. Vol. 17, iss. A (Algorithmic Number Theory Symposium XI). P. 404–417. doi: 10.1112/S1461157014000382 .

22.   Robinson D.J.S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Part 2. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1972. 254 p. doi 10.1007/978-3-662-11747-7 .

23.   Rososhek SK. Modified matrix modular cryptosystems // British J. Math. & Computer Science. 2015. Vol. 5, no. 5. P. 613–636. doi: 10.9734/BJMCS/2015/14321 .

24.   Rososhek SK. Fast and secure modular matrix based digital signature // British J. Math. & Computer Science. 2016. Vol. 13, no. 1. P. 1–20. doi: 10.9734/BJMCS/2016/22319 .

25.   Sinnott W. On the Stickelberger ideal and circular units of a cyclotomic field // Ann. Math. 1978. Vol. 108, no. 1. P. 107–134. doi: 10.2307/1970932 .

26.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook. No. 19 / eds. Evgeny Khukhro and Victor Mazurov [e-resource]. Novosibirsk, 2020. 250 p. URL: http://kourovka-notebook.org .

27.   Vasil’ev A.V. On finite groups isospectral to simple classical groups // J. Algebra. 2015. Vol. 423. P. 318–374. doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.10.013

28.   Wehrfritz B.A.F. Infinite linear groups. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1973. 229 p. doi: 10.1007/978-3-642-87081-1

Поступила 12.08.2020

После доработки 17.08.2020

Принята к публикации 24.08.2020

Маслова Наталья Владимировна 
д-р физ.-мат. наук
ведущий научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: butterson@mail.ru

Белоусов Иван Николаевич
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: i_belousov@mail.ru

Минигулов Николай Александрович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
email: nikola-minigulov@mail.ru

Ссылка на статью:  Н.В. Маслова, И.Н. Белоусов,  Н.А. Минигулов. Открытые проблемы,  сформулированные на XIII школе-конференции по теории групп,  посвященной 85-летию В.А. Белоногова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 3. С. 275-285

English

N. V. Maslova, I. N. Belousov, N. A. Minigulov. Open questions formulated at the 13th School–Conference on Group Theory Dedicated to V. A. Belonogov’s 85th Birthday.

A review of the main events of the 13th School–Conference on Group Theory, which was held online on August 3–7, 2020, is presented, and a list of open questions with comments is given. Open questions were formulated by the participants at the Open Problems Session held at the end of the school–conference. Among the posed problems there are a series of questions on the characterization of a finite group by its arithmetic invariants such as the spectrum, the Gruenberg–Kegel graph, the solvabile graph, and the degrees of irreducible complex characters (L. S. Kazarin, A. S. Kondrat’ev, and N. V. Maslova); the question of the conjugacy of the Sylow 2-subgroups in locally finite groups with additional conditions on these subgroups (V. D. Mazurov); a series of problems on the characterization of distance-regular graphs by their intersection arrays (A. A. Makhnev); the question of the nilpotent length of a finite solvable group whose Carter subgroup coincides with the GaschЈutz subgroup (V. S. Monakhov); a series of problems about the structure of conjugately biprimitively finite groups or Shunkov groups (A. I. Sozutov); a question on the structure of some matrix groups over a residue ring ℤn for a positive integer n (V. A. Roman’kov); a question on the characterization of Mazurov triples in finite groups (A. V. Timofeenko); and other open questions of the modern group theory and its applications. V. A. Belonogov’s brief biography and the list of his main publications are also presented.

Keywords: finite group, spectrum, Gruenberg–Kegel graph, solvabile graph, locally finite group, periodic group, Sylow 2-subgroup, Carter subgroup, GaschЈutz subgroup, conjugately biprimitively finite group (Shunkov group), Mazurov triple.

Natalia Vladimirovna Maslova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: butterson@mail.ru .

Ivan Nikolaevich Belousov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: i_belousov@mail.ru .

Nikolai Aleksandrovich Minigulov, doctoral student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: nikola-minigulov@mail.ru .

Cite this article as: N. V. Maslova, I. N. Belousov, N. A. Minigulov. Open questions formulated at the 13th School–Conference on Group Theory Dedicated to V. A. Belonogov’s 85th Birthday, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 275–285 .

[References -> on the "English" button bottom right]