А.А. Толстоногов. Дифференциальные включения в банаховом пространстве с составной правой частью ... C. 212-222

УДК 517.977

MSC: 58C06

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-212-222

В сепарабельном банаховом пространстве рассматривается дифференциальное включение, правая часть которого является суммой двух многозначных отображений. Первое отображение имеет своими значениями замкнутые, ограниченные, не обязательно выпуклые множества. Оно измеримо по временной переменной, является липшицевым по фазовой переменной и удовлетворяет традиционному условию роста. Второе многозначное отображение в качестве своих значений имеет замкнутые, выпуклые, не обязательно ограниченные множества. Предполагается, что это отображение имеет по фазовой переменной замкнутый график. Остальные предположения относятся к пересечению второго отображения и многозначного отображения, определенного условиями роста. Считается, что пересечение многозначных отображений имеет измеримый селектор и обладает определенными свойствами компактности. Доказана теорема существования решений таких включений. Доказательство базируется на принадлежащей автору теореме о непрерывных селекторах, проходящих через неподвижные точки многозначных отображений, зависящих от параметра, с замкнутыми, невыпуклыми, разложимыми значениями и классической теореме Ки Фана о неподвижной точке. Полученные результаты являются новыми.

Ключевые слова: разложимое множество, неподвижная точка, непрерывный селектор, слабая норма, интеграл Аумана

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Netherlands: Springer, 1976. 352 p. ISBN 978-90-286-0205-2 .

2.   Толстоногов А.А. Существование и релаксация решений дифференциальных включений с неограниченной правой частью в банаховом пространстве // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58, № 4(344). С. 937–953. doi: 10.17377/smzh.2017.58.419 

3.   Tolstonogov A. Differential inclusions in Banach space. Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 2000. 302 p. ISBN 978-94-015-9490-5 .

4.   Himmelberg C.J. Measurable relations // Fund. Math. 1975. Vol. 87, no. 1. P. 53–72. doi: 10.4064/fm-87-1-53-72 

5.   Alexiewicz A. Linear functionals on Denjoy-integrable functions // Colloquium Math. 1948. Vol. 1, no. 4. P. 289–293. doi: 10.4064/cm-1-4-289-293 

6.   Толстоногов А.А. О некоторых свойствах пространства правильных функций // Мат. заметки. Т. 35, № 6. 1984. С. 803–812.

7.   Tolstonogov A.A., Tolstonogov D.A. $L_p$-continuous extreme selectors of multifunctions with decomposable values. Existence theorems // Set-valued Anal. 1996. Vol. 4, no. 2. P. 173–203. doi: 10.1007/BF00425964 

8.   Толстоногов А.А. $L_p$-непрерывные селекторы неподвижных точек многозначных отображений с разложимыми значениями. I. Теоремы существования // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 3. С. 695–709.

9.   Fan Ky. Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces // Proc. Nat. Acad Sci. USA. 1952. Vol. 38, no. 3. P. 121–126. doi: 10.1073/pnas.38.2.121 

Поступила 11.11.2019

После доработки 29.01.2020

Принята к публикации 3.02.2020

Толстоногов Александр Александрович
чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова
Сибирского отделения Российской академии наук (ИДСТУ СО РАН),
г. Иркутск
e-mail: aatol@icc.ru

Ссылка на статью: А.А. Толстоногов. Дифференциальные включения в банаховом пространстве с составной правой частью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 212-222.

English

A.A. Tolstonogov. Differential inclusions in a Banach space with composite right-hand side

A differential inclusion whose right-hand side is the sum of two multivalued mappings is considered in a separable Banach space. The values of one mapping are closed, bounded, not necessarily convex sets. This mapping is measurable in the time variable, is Lipschitz in the state variable, and satisfies the traditional growth condition. The values of the second mapping are closed, convex, not necessarily bounded sets. This mapping is assumed to have a closed graph in the state variable. The remaining assumptions concern the intersection of the second mapping and the multivalued mapping defined by the growth conditions. We suppose that the intersection of the multivalued mappings has a measurable selection and possesses certain compactness properties. An existence theorem is proved for solutions of such inclusions. The proof is based on a theorem proved by the author on continuous selections passing through fixed points of multivalued mappings depending on a parameter with closed, nonconvex, decomposable values and on Ky Fan’s famous fixed-point theorem. The obtained results are new.

Keywords: decomposable space, fixed point, continuous selection, weak norm, Aumann integral

Received November 11, 2019

Revised January 29, 2020

Accepted February 3, 2020

Aleksandr Aleksandrovich Tolstonogov, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: aatol@icc.ru

Cite this article as: A.A. Tolstonogov. Differential inclusions in a Banach space with composite right-hand side, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 212–222.