А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна - Сеге для производной Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ ... C. 199-207

УДК 517.977

MSC: 42A05, 41A17, 26A33

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-199-207

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

Во множестве $\mathscr{T}_n$  тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматриваются производные Вейля (дробные производные)  $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha.$ Неравенство $\|D^\alpha_\theta f_n\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p$  для оператора Вейля - Сеге $D^\alpha_\theta f_n(t)=f_n^{(\alpha)}(t)\cos\theta + \tilde{f}_n^{(\alpha)}(t)\sin\theta$ во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов является обобщением неравенства Бернштейна. Такие неравенства изучаются уже 90 лет.  Г. Сеге в 1928 г. получил точное неравенство $\|f_n'\cos\theta+\tilde{f}_n'\sin\theta\|_\infty \leq n\|f_n\|_\infty.$ В дальнейшем А. Зигмунд (1933) и А.И. Козко (1998) показали, что при $p\ge 1$ и вещественных $\alpha\ge 1$ при всех $\theta\in\mathbb{R}$ константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ равна $n^\alpha$. Случай $p=0$ представляет дополнительный интерес в связи с тем, что константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ является наибольшей по $p\in[0,\infty]$ именно при $p=0.$  В.В. Арестов (1994) показал, что при $\theta=\pi/2$ (в случае сопряженного полинома) для целых неотрицательных $\alpha$ величина $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ имеет показательный рост по $n$ и ведет себя как $4^{n+o(n)}$. Из его результата следует, что при $\theta\neq 2\pi k$ поведение константы такое же. Но в случае $\theta=2\pi k$ и $\alpha\in\mathbb{N}$ В.В. Арестов (1979) показал, что точная константа равна $n^\alpha$. Ранее автором (2018) исследовалось неравенство Бернштейна в случае $p=0$ для положительных нецелых $\alpha$. Была получена логарифмическая асимптотика точной константы: $\sqrt[n]{B_n(\alpha,0)_0}\to 4$ при $n\to\infty$. В данной работе этот результат обобщается на  все $\theta\in\mathbb{R}$.

Ключевые слова: тригонометрический полином, производная Вейля, сопряженный полином, неравенство Бернштейна - Сеге, пространство $L_0$

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Weyl H. Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich. 1917. Bd. 62, №1–2. S. 296–302.

2.   Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 638 с.

3.   Arestov V.V., Glazyrina P.Yu. Bernstein–Szego inequality for fractional derivatives of trigonometric polynomials // Proc. Steklov Inst. Math. 2015. Vol. 288, Suppl. 1. P. 13–28. doi: 10.1134/S0081543815020030

4.   Szego G.  $\ddot{\mathrm{U}}$ber einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schrift. K$\ddot{\mathrm{o}}$nigsberg. Gelehrten Gesellschaft. 1928. J. 5, H. 4. S. 59–70.

5.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

6.   Kozko A.I. The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szego inequalities with fractional derivatives and the Jackson–Nikolskii inequality for trigonometric polynomials // East J. Approx. 1998. Vol. 4, no. 3. P. 391–416.

7.   Арестов В.В. Неравенство Сеге для производных сопряженного тригонометрического полинома в $L_0$ // Мат. заметки, 1994. Т. 56, № 6. С. 10–26.

8.   Арестов В.В. О неравенствах С. Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289–1292.

9.   Арестов В.В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1981. Т. 45, № 1. С. 3–22.

10.   Адамов А.Н. О константе в неравенстве Сеге для производных сопряженных тригонометрических полиномов в $L_0$ // Вестник Од. нац. ун-та. Математики и механика. 2014. Т. 19, вып. 1(21). С. 7–15.

11.   Леонтьева А.О. Неравенство Бернштейна для производных Вейля тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ // Мат. заметки. 2018. Т. 104, вып. 2. С. 255–264.

12.   Арестов В.В. Интегральные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности // Мат. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 7–18.

13.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1978. 391 с.

14.   Попов Н.В. О неравенстве С. Н. Бернштейна // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 19 Междунар. Саратовской зимней шк., посвященной 90-летию со дня рождения акад. П. Л. Ульянова. Саратов: ООО Изд-во “Научная книга”, 2018. 380 с.

Поступила 01.07.2018

После доработки 01.10.2018

Принята к публикации 15.10.2018

Леонтьева Анастасия Олеговна
аспирант
Уральский федеральный университет им. Б. Н. Ельцина;
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: sinusoida2012@yandex.ru

English

A.O. Leont’eva. Bernstein–Szego inequality for the Weyl derivative of trigonometric polynomials in $L_0$

In the set $\mathscr{T}_n$ of trigonometric polynomials $f_n$ of order $n$ with complex coefficients, we consider Weyl (fractional) derivatives  $f_n^{(\alpha)}$ of real nonnegative order $\alpha$. The inequality $\left\|D^\alpha_\theta f_n\right\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p$ for the Weyl-Szego operator $D^\alpha_\theta f_n(t)=f_n^{(\alpha)}(t)\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}(t)\sin\theta$ in the set $\mathscr{T}_n$ of trigonometric polynomials is a generalization of the Bernstein inequality. Such inequalities have been studied for 90 years. G. Szego obtained the exact inequality $\left\|f_n'\cos\theta+\tilde{f}_n'\sin\theta\right\|_\infty \leq n\left\|f_n\right\|_\infty$ in 1928. Later on, A. Zygmund (1933) and A.I. Kozko (1998) showed that, for $p\ge 1$ and real $\alpha\ge 1$, the constant $B_n(\alpha,\theta)_p$ is equal to $n^\alpha$ for all $\theta\in\mathbb{R}$. The case $p=0$ is of additional interest because it is in this case that $B_n(\alpha,\theta)_p$ is largest over $p\in[0,\infty]$. In 1994 V.V. Arestov (1994) showed that, for $\theta=\pi/2$ (in the case of the conjugate polynomial) and integer nonnegative $\alpha$, the quantity $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ grows exponentially in $n$ as $4^{n+o(n)}$. It follows from his result that the behavior of the constant for $\theta\neq 2\pi k$ is the same. However, in the case $\theta=2\pi k$ and $\alpha\in\mathbb{N}$, Arestov showed in 1979 that the exact constant is $n^\alpha$. The author investigated the Bernstein inequality in the case $p=0$ for positive noninteger $\alpha$ earlier (2018). The logarithmic asymptotics of the exact constant was obtained: $\sqrt[n]{B_n(\alpha,0)_0}\to 4$ as $n\to\infty$. In the present paper, this result is generalized to all $\theta\in\mathbb{R}$.

Keywords: trigonometric polynomial, Weyl derivative, conjugate polynomial, Bernstein-Szego inequality, space $L_0$

Received July 01, 2018

Revised October 01, 2018

Accepted October 15, 2018

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Anastasia Olegovna Leont’eva, doctoral student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: sinusoida2012@yandex.ru