М.И. Русанова. Асимптотическое разложение плотности потенциала двойного слоя тонкого эллипса ... С. 229-234

УДК 517.977

MSC: 35J25, 35C20, 31A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-2-229-234

Работа выполнена при поддержке гранта Фонда развития теоретической физики и математики “БАЗИС”.

Настоящая работа посвящена построению формального асимптотического разложения плотности потенциала двойного слоя тонкого эллипса, толщина которого характеризуется малым параметром. При этом сам потенциал является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа во внешности тонкого эллипса. Его физической интерпретацией может быть функция тока при обтекании тонкого тела ламинарным потоком идеальной жидкости. Надо отметить, что само решение данной краевой задачи не являлось целью статьи, так как оно легко могло быть найдено конформным отображением внешности круга на внешность эллипса. Однако данный пример является модельным для рассматриваемого в работе метода нахождения асимптотического разложения решения краевых задач для уравнения Лапласа во внешности тонких областей, и он легко может быть перенесен в трехмерное пространство, где аппарат конформных отображений не работает. Данный метод основан на разложении по малому параметру левой и правой частей уравнения на потенциал двойного слоя и последующем приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях этого малого параметра. В настоящей работе рассмотрены сложности построения асимптотического разложения данным способом и изложен ряд нерешенных пока проблем.

Ключевые слова: многомерный интеграл, малый параметр, асимптотическое разложение, метод вычитания особенностей, потенциал двойного слоя, уравнение Лапласа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения // Труды семинара С.Л. Соболева. № 1. Новосибирск. 1980. С. 113–131.

2.   Ильин А.М. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2005. 192 с. ISBN: 5-7271-0703-2 .

3.   Ильин А.М., Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 222 c.

Поступила 29.03.2018

Русанова Мария Игоревна
студент
Челябинский государственный университет,
г. Челябинск
e-mail: rusanova_mary94@mail.ru

English

M.I. Rusanova. Asymptotic expansion for the density of the double layer potential of a thin ellipse.

The paper is devoted to the construction of a formal asymptotic expansion for the density of the double layer potential of a thin ellipse whose width is characterized by a small parameter. The potential is a solution to the Dirichlet problem for the Laplace equation in the exterior of the ellipse. The physical interpretation can be the function of a laminar flow of an ideal fluid around a thin body. We should note that the solution of this boundary value problem was not the aim of the paper, since it can be easily found by a conformal mapping of the exterior of a disk to the exterior of the ellipse. However, this problem can be viewed as a model example for the method of finding asymptotic expansions for solutions of boundary value problems for the Laplace equation in the exterior of thin domains that we consider in this paper. The analysis can be easily transferred to three-dimensional space, where the techniques of conformal mappings do not work. The method is based on expanding both sides of the equation for the double layer potential in the small parameter and then equating the coefficients at the same powers of the parameter. We consider the difficulties of constructing the asymptotic expansion by this method and formulate a number of unsolved problems.

Keywords: multidimensional integral, small parameter, asymptotic expansion, singularity subtraction method, double layer potential, Laplace equation.

The paper was received by the Editorial Office on March 29, 2018.

Maria Igorevna Rusanova, undergraduate student, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, 454001 Russia, e-mail: rusanova_mary94@mail.ru.