А.А. Шабозова. Приближение пространственных кривых ломаными в $L_{p}$ ... С. 311-318

УДК: 517.5

MSC: 41A63

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-4-311-318

В статье рассматривается класс $H^{\omega_{1},\omega_{2},\ldots,\omega_{m}}$ параметрически заданных кривых в $m$-мерном евклидовом пространстве, координатные функции которых принадлежат классам $H^{\omega_{i}}[0,L] \ (i=\overline{1,m})$ соответственно, т. е. имеют модуль непрерывности, мажорируемый функцией $\omega_{i}$. Решена задача отыскания верхней грани взаимного отклонения в норме пространства $L_{p}[0,L]$ $(1\le p<\infty)$ двух кривых из этого класса при условии обязательного их пересечения в $N \ (N\ge2)$ точках отрезка $[0,L].$ Также найдено точное значение верхней грани уклонения в метрике $L_{p}$ кривой $\Gamma$ из класса $H^{\omega_{1},...,\omega_{m}}$, заданного выпуклыми вверх модулями непрерывности $\omega_{i}(t), i=\overline{1,m}$, от вписанной в нее интерполяционной ломаной с $N \ (N\ge2)$ точками интерполяции. Полученные результаты являются обобщением результата В.Ф. Сторчая о приближении непрерывных функций интерполяционными ломаными в метрике пространства $L_{p}[0,L] \ (1\le p<\infty).$

Ключевые слова: параметрически заданные кривые, модуль непрерывности, интерполяционные ломаные.

Список литературы

1.   Сендов Бл. Хаусдорфовые приближения. София: Изд-во Болгарской АН, 1979. 372 с.

2.   Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

3.   Мартынюк В.Т. О приближении ломаными кривых, заданных параметрическими уравнениями, в хаусдорфовой метрике // Укр. мат. журн. 1976. Т 28, № 1. С. 87-92.

4.   Назаренко Н.А. О локальном восстановление кривых с помощью параметрических сплайнов // Геометрическая теории функций и топология: сб. тр. Киев, 1981. С. 55-62.

5.   Вакарчук С.Б. О приближении кривых, заданных параметрическом виде, при помощи сплайн-функций // Укр. мат. журн. 1983. Т 35, № 3. С. 352-355.

6.   Вакарчук С.Б. Точные константы приближения плоских кривых полиномиальными кривыми и ломаными // Изв. Вузов. Математика. 1988. № 2. С. 14-19.

7.   Корнейчук Н.П. Об оптимальном кодирования вектор-функций // Укр. мат. журн. 1988. Т 40, № 6. С. 737-743.

8.   Корнейчук Н.П. Приближение и оптимальное гладких плоских кривых // Укр. мат. журн. 1989. Т 41, № 4. С. 492-499.

9.   Шабозов М.Ш., Шабозова А.А. Приближение кривых ломаными // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2013. Вып 2. Сер. 1. С. 68-76.

10.   Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. 256 с.

11.   Сторчай В.Ф. Об отклонении ломаных в метрике $L_{p}.$ // Мат. заметки. 1969. Т. 5, № 1. С. 31-37.

12.   Шабозова А.А. К полигональной интерполяции кривых в пространстве $\mathbb{R}^{m}$ // Изв. ТулГУ. 2015. Вып. 4. С. 107-112.

Поступила 10.05.2017

Шабозова Адолат Азамовна 
математик, аспирант
Таджикский национальный университет
e-mail: shabozova91@mail.ru

English

A.A. Shabozova. Approximation of space curves by polygonal lines in $L_p$.

We consider the class $H^{\omega_{1},\omega_{2},\ldots,\omega_{m}}$ of parametric curves in the $m$-dimensional Euclidean space whose coordinate curves belong to the classes $H^{\omega_{i}}[0,L]$ $(i=\overline{1,m})$, respectively; i.e., their moduli of continuity are dominated by the functions $\omega_{i}$. We solve the problem of finding an upper bound for the mutual deviation in the norm of the space $L_{p}[0,L]$ $(1\le p<\infty)$ of two curves from this class under the condition that they intersect at $N$ $(N\ge2)$ points of the interval $[0,L]$. We also find the exact value for the upper bound of the deviation in the $L_{p}$ metric of a curve $\Gamma$ belonging to a class $H^{\omega_{1},...,\omega_{m}}$ defined by upper convex moduli of continuity $\omega_{i}(t)$, $i=\overline{1,m}$, from an interpolation polygonal line inscribed in this curve with $N$ $(N\ge2)$ interpolation nodes. The obtained results generalize V.F. Storchai's result on the approximation of continuous functions by interpolation polygonal lines in the metric of the space $L_p[0,L]$ $(1\le p\le\infty)$.

Keywords: parametric curves, modulus of continuity, interpolation broken lines.

The paper was received by the Editorial Office on May 10, 2017

Adolat Azamovna Shabozova, doctoral student, Tajik National University, Dushanbe, 734025 Tajikistan,
e-mail: shabozova91@mail.ru .