В.Т. Шевалдин.   Равномерные константы Лебега локальной сплайн-аппроксимации ... С. 292-299.

УДК 519.65

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2017-23-3-292-299

Работа выполнена за счет гранта Российского научного фонда (проект 14-11-00702).

Для функции $ \varphi \in C^1[-h,h]$, удовлетворяющей условиям $ \varphi (0)= \varphi '(0)=0$, $ \varphi (-x)= \varphi (x) (x\in [0;h])$, $ \varphi (x)$ не убывает на $[0;h]$, для любой функции $f: \mathbb R\to \mathbb R$ рассматриваются локальные сплайны вида $$ S(x)=S_{ \varphi }(f,x)=\sum_{j\in \mathbb Z} y_j B_{ \varphi }\Big( x+\frac{3h}{2}-jh\Big)\quad (x\in \mathbb R), $$ где $y_j=f(jh), m(h)>0$ и $$ B_{ \varphi }(x)=m(h) \left\{ \begin{array}{cl} \varphi (x), & x\in [0;h],\\[1ex] 2 \varphi (h)- \varphi (x-h)- \varphi (2h-x), & x\in [h;2h],\\ \varphi (3h-x), & x\in [2h;3h],\\ 0, & x\not\in [0;3h]. \end{array} \right. $$ При определенном выборе функции $ \varphi $ такие сплайны становятся соответственно параболическими, экспоненциальными, тригонометрическими и т.\,д. В работе изучаются равномерные константы Лебега $L_{ \varphi }=\|S\|_C^C$ (нормы линейных операторов из $C$ в $C$) таких сплайнов как функций, зависящих от $ \varphi $ и $h$. В некоторых случаях эти величины вычислены точно на оси $\mathbb R$ и на отрезке числовой прямой (при определенном выборе из сплайна $S_{ \varphi }(f,x)$ граничных условий).

Ключевые слова: константы Лебега, локальные сплайны, трехточечная схема.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972. 318 с.

2.   Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов истокообразно представимых функций // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 185–201.

3.   Рвачев В.А. Финитные решения функционально-дифференцируемых уравнений и их приложения // Успехи мат. наук. 1990. Т. 45, № 1. С. 77–103.

4.   Леонтьев В.Л. Ортогональная финитные функции и численные методы. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. 178 с.

5.   Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. М.: Физматлит, 2006. 360 с.

6.   Демьянович Ю.К. Вейвлет-базис Bφ-сплайнов для неравномерной сетки // Мат. моделирование. 2006. Т. 18, № 10. С. 123–126.

7.   Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными сплайнами. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2014. 198 с.

8.   Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

9.   Субботин Ю.Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33, № 7. С. 996–1003.

10.   Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами с произвольным расположением узлов // Сиб. журн. вычисл. математики. 2005. Т. 8, № 1. С. 77–88.

11.   Kostousov K.V., Shevaldin V.T. Approximation by local exponential splines // Proc. Steklov Inst. Math. 2004. Suppl. 1. P. 147–157.

12.   Костоусов К.В., Шевалдин В.Т. Аппроксимация локальными тригонометрическими сплайнами // Мат. заметки. 2005. Т. 77, № 3. C. 354–363.

Поступила 2.06.2017

Шевалдин Валерий Трифонович 
д-р физ.-мат. наук, зав. отд.
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

English

V. T. Shevaldin. Uniform Lebesgue constants of local spline approximation.

Let a function $ \varphi \in C^1[-h,h]$ be such that $ \varphi (0)= \varphi '(0)=0$, $ \varphi (-x)= \varphi (x)$ for $x\in [0;h])$, and $ \varphi (x)$ is nondecreasing on $[0;h]$. For any function $f: \mathbb R\to \mathbb R$, we consider local splines of the form $$S(x)=S_{ \varphi }(f,x)=\sum_{j\in \mathbb Z} y_j B_{ \varphi }\Big( x+\frac{3h}{2}-jh\Big)\quad (x\in \mathbb R),$$ where $y_j=f(jh)$, $m(h)>0$, and $$B_{ \varphi }(x)=m(h)\left\{\begin{array}{cl} \varphi (x),& x\in [0;h],\\[1ex] 2 \varphi (h)- \varphi (x-h)- \varphi (2h-x),& x\in [h;2h],\\ \varphi (3h-x),& x\in [2h;3h],\\[1ex] 0, & x\not\in [0;3h]. \end{array} \right.$$ These splines become parabolic, exponential, trigonometric, etc., under the corresponding choice of the function $ \varphi $. We study the uniform Lebesgue constants $L_{ \varphi }=\|S\|_C^C$ (the norms of linear operators from $C$ to $C$) of these splines as functions depending on $ \varphi $ and $h$. In some cases, the constants are calculated exactly on the axis $\mathbb R$ and on a closed interval of the real line (under a certain choice of boundary conditions from the spline $S_{ \varphi }(f,x)$). Keywords: Lebesgue constants, local splines, three-point system.

The paper was received by the Editorial Office on June 2, 2017.

Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Rassian Academy of Sciences, Yeraterinburg, 620990 Russia, e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru