УДК 517.5
MSC: 41A17, 42B10
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-75-87
Полный текст статьи (Full text)
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
Мы изучаем точную константу в неравенстве Никольского-Бернштейна $\|Df\|_{q}\le C\|f\|_{p}$ на подпространстве целых функций $f$ экспоненциального сферического типа в пространстве $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ с весом $v_{\kappa}$ степенного типа. В качестве дифференциального оператора $D$ рассматривается неотрицательная целая степень лапласиана Данкля $\Delta_{\kappa}$, ассоциированного с весом $v_{\kappa}$. Этим также охватывается одномерный случай пространства $L^{p}(\mathbb{R}_{+})$ со степенным весом $t^{2\alpha+1}$ и дифференциальным оператором Бесселя. Наш основной результат заключается в доказательстве равенства между многомерной и одномерной весовыми константами при $1\le p\le q=\infty$. Для этого мы показываем, что норма $\|Df\|_{\infty}$ может быть заменена значением $Df(0)$, что было известно только в одномерном случае. Необходимое отображение подпространства функций, по сути сводящее задачу к радиальной, а значит, одномерной, осуществляется при помощи положительного оператора обобщенного сдвига Данкля $T_{\kappa}^{t}$. Мы доказываем его новое свойство аналитического продолжения по переменной $t$. Как следствие мы вычисляем весовую константу Бернштейна при $p=q=\infty$, которая была известна в исключительных случаях. Также мы приводим некоторые оценки констант и даем небольшой список открытых проблем.
Ключевые слова: неравенство Никольского - Бернштейна, точная константа, целая функция экспоненциального сферического типа, вес степенного типа, лапласиан Данкля
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арестов В.В. О неравенствах С.Н. Бернштейна для алгебраических и тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 6. С. 1289–1292.
2. Арестов В.В. О неравенстве разных метрик для тригонометрических полиномов // Мат. заметки. 1980. Т. 27, № 4. С. 539–547.
3. Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horvath A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6
4. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere [e-resource]. 21 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1708.09837.pdf
5. Ganzburg M. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii type inequalities [e-resource]. 19 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1901.04400.pdf
6. Ganzburg M.I., Tikhonov S.Yu. On sharp constants in Bernstein–Nikolskii inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449–466. doi: 10.1007/s00365-016-9363-1
7. Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 67–79. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79
8. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, № 2. С. 80–89. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89
9. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive $L^{p}$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018. P. 1–51. doi: 10.1007/s00365-018-9435-5
10. Gorbachev D.V., Ivanov V.I. Fractional smoothness in $L^{p}$ with Dunkl weight and its applications [e-resource]. 28 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1812.04946.pdf
11. Иванов В.А. Точные результаты в задаче о неравенстве Бернштейна — Никольского на компактных симметрических римановых пространствах ранга 1 // Тр. МИАН СССР: сб. тр.: Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Ч. 14. . Т. 194. М.: Наука, 1992. C. 111–119.
12. de Jeu M.F.E. Paley–Wiener theorems for the Dunkl transform // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. Vol. 358. P. 4225–4250. doi: 10.1090/S0002-9947-06-03960-2
13. Камзолов А.И. Об интерполяционной формуле Рисса и неравенстве Бернштейна для функций на однородных пространствах // Мат. заметки. 1974. Т. 15, № 6. С. 967–978.
14. Mejjaoli H., Trimeche K. On a mean value property associated with the Dunkl Laplacian operator and applications // Integral Transform. Spec. Funct. 2001. Vol. 12. P. 279–302. doi: 10.1080/10652460108819351
15. Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15. P. 459–468. doi: 10.1007/s40315-015-0113-3
16. Nessel R., Wilmes G. Nikolskii-type inequalities for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type // J. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 25, no. 1. P. 7–18. doi: 10.1017/S1446788700038878
17. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва: Наука, 1977. 480 с.
18. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. математическая. 2007. Т. 71, № 5. С. 149–196.
19. R$\ddot{\mathrm{o}}$sler M. A positive radial product formula for the Dunkl kernel // Trans. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 355. P. 2413–2438. doi: 10.1090/S0002-9947-03-03235-5
Поступила 8.04.2019
После доработки 6.05.2019
Принята к публикации 13.05.2019
Горбачев Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: dvgmail@mail.ru
Иванов Валерий Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: ivaleryi@mail.ru
Ссылка на статью: Д.В. Горбачев, В.И. Иванов. Константы Никольского-Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019.Т.25, № 2. С. 75-87.
English
D.V. Gorbachev, V.I. Ivanov. Nikol’skii–Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces
We study the exact constant in the Nikol'skii-Bernstein inequality $\|Df\|_{q}\le C\|f\|_{p}$ on the subspace of entire functions $f$ of exponential spherical type in the space $L^{p}(\mathbb{R}^{d})$ with a power-type weight $v_{\kappa}$. For the differential operator $D$, we take a nonnegative integer power of the Dunkl Laplacian $\Delta_{\kappa}$ associated with the weight $v_{\kappa}$. This situation encompasses the one-dimensional case of the space $L^{p}(\mathbb{R}_{+})$ with the power weight $t^{2\alpha+1}$ and Bessel differential operator. Our main result consists in the proof of an equality between the multidimensional and one-dimensional weight constants for $1\le p\le q=\infty$. For this, we show that the norm $\|Df\|_{\infty}$ can be replaced by the value $Df(0)$, which was known only in the one-dimensional case. The required mapping of the subspace of functions, which actually reduces the problem to the radial and, hence, one-dimensional case, is implemented by means of the positive operator of generalized Dunkl translation $T_{\kappa}^{t}$. We prove its new property of analytic continuation in the variable $t$. As a consequence, we calculate the weighted Bernstein constant for $p=q=\infty$, which was known in exceptional cases only. We also find some estimates of the constant and give a short list of open problems.
Keywords: Nikol'skii-Bernstein inequality, exact constant, entire function of exponential spherical type, power-type weight, Dunkl Laplacian
Received April 8, 2019
Revised May 6, 2019
Accepted May 13, 2019
Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 18-11-00199).
Dmitry Viktorovich Gorbachev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: dvgmail@mail.ru
Valerii Ivanovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: ivaleryi@mail.ru
Cite this article as: D.V.Gorbachev, V.I.Ivanov. Nikol’skii–Bernstein constants for entire functions of exponential spherical type in weighted spaces. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 2, pp. 75–87.
[References -> on the "English" button bottom right]