УДК 517.958
MSC: 35F30, 78M30
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-231-241
В работе рассматривается n-мерное уравнение эйконала, которое описывает распространение света в однородной среде от источника на границе компактного множества в неограниченную область n-мерного пространства. Показано, что решение этой задачи, полученное с помощью метода характеристик, представимо аналитически с помощью формулы, обобщающей формулу Кружкова, является энтропийным и минимаксным решением рассматриваемой задачи Дирихле в неограниченной области.
Ключевые слова: уравнение эйконала, однородная среда, неограниченная область, метод характеристик, супердифференциал
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнений Гамильтона — Якоби типа эйконала. I. Постановка задач, теоремы существования, единственности и устойчивости, некоторые свойства решений // Мат. сб. 1975. Т. 98 (140), № 3 (11). С. 450–493.
2. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: Изд-во Института компьютерных исследований, 2003. 336 с.
3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. М.: Мир, 1966. 476 с.; Т. 2. М.: Мир, 1965. 554 с.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984. 296 с.
5. Clarke F.H. Optimization and nonsmooth analysis. NY: Wiley Interscience, 1983. 320 p.
6. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.
7. Crandall M.G., Evans L.C., Lions P. L. Some properties of viscosity solutions of Hamilton — Jacobi equations// Transactions Americ. Math. Soc. 1984. Vol. 282 (2). P. 487–502.
8. Лебедев П.Д., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Построение минимаксного решения уравнения типа эйконала. // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 2, С. 182–191.
Поступила 20.04.2026
После доработки 05.05.2026
Принята к публикации 12.05.2026
Cубботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru
Шемякин Дмитрий Владимирович
бакалавр
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: shemdy20@mail.ru
Ссылка на статью: Н.Н. Субботина, Д.В. Шемякин. Метод характеристик в решении задачи Дирихле для уравнения эйконала в неограниченной области // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 231–241.
English
N.N. Subbotina, D.V. Shemyakin. Method of characteristics in solving the Dirichlet problem for the eikonal equation in an unbounded domain
This paper considers the n-dimensional eikonal equation, which describes the propagation of light in a homogeneous medium from a source on the boundary of a compact set into an unbounded region of n-dimensional space. It is shown that the solution to this problem, obtained using the method of characteristics, can be represented analytically using a formula generalizing Kruzhkov’s formula and is the entropy and minimax solution of the Dirichlet problem in the unbounded region.
Keywords: eikonal equation, homogeneous medium, unbounded region, method of characteristics, superdifferential
Received April 20, 2026
Revised May 05, 2026
Accepted May 12, 2026
Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: subb@uran.ru
Dmitriy Vladimirovich Shemyakin, student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: shemdy20@mail.ru
Cite this article as: N.N. Subbotina, D.V. Shemyakin. Method of characteristics in solving the Dirichlet problem for the eikonal equation in an unbounded domain.Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 231–241.
[References -> on the "English" button bottom right]
