УДК 517.5
MSC: 42A10, 42A63
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-3-233-249
В 1978 г. С.Б. Стечкин и В.Т. Гаврилюк в работе о скорости сходимости ряда Фурье непрерывной функции нашли специальный метод оценки нормы уклонения функции от частичной суммы ее ряда Фурье, использующий интегральные свойства ядер Дирихле. Цель данной статьи – напомнить основную идею этой замечательной работы и показать, как при помощи модификации примененного в ней метода совсем недавно были получены результаты для функций ограниченной вариации, ограниченной p-вариации, дана оценка скорости сходимости в принципе локализации Римана для непрерывных функций и решены другие задачи.
Ключевые слова: ряд Фурье, скорость сходимости, модуль непрерывности, функции ограниченной вариации, принцип локализации Римана
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lebesgue H. Sur la représentation trigonometrique approchée des fonction satisfaisant á une condition de Lipschitz // Bull. Soc. Math. France. 1910. Vol. 38. P. 184–210. https://doi.org/10.24033/bsmf.859
2. Киш О. Оценка отклонения частных сумм ряда Фурье // Acta Math. Academ. Sci. Hungar. 1971. Vol. 22, no. 1-2. P. 173–176. https://doi.org/10.1007/BF01896005
3. Гаврилюк В.Т. Приближение непрерывных периодических функций полиномами Рогозинского и суммами Фурье // Вопросы теории приближения функций и ее приложений /ed. В.К. Дзядык. Киев, 1976. C. 46–59.
4. Гаврилюк В.Т. Приближение непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномам // Теория приближения функций: сб. ст. / eds. C. Б. Стечкин, С. А. Теляковский. Москва, 1977. С. 101–103.
5. Miloradović S. Aproksimacije funckcija Fourier-ovim sumama i gorns granica Fourierovih koeficijenta. Beograd: Magistarski rad, 1977. 51 p.
6. Стечкин С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 109. С. 26–34.
7. Даугавет И.К. Об одном свойстве вполне непрерывных операторов в пространстве C // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, № 5. С. 157–158.
8. Гаврилюк В.Т., Стечкин С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 107–127.
9. Гаврилюк В.Т., Стечкин С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, № 3. С. 525–527.
10. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.
11. Faward J. Sur les meilleurs procédés d’approximation de certaines classes de fonctions par des polynomes trigonométriques // Bull. Sci. Math. 1937. Vol. 61, no. 2. P. 209-224; 243-256.
12. Rogosinski W. Über die Abschnitte trigonometrischer Reihen // Math. Ann. 1926. Vol. 95. P. 110–134. https://doi.org/10.1007/BF01206600
13. Корнейчук Н.П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1971. Т. 35, № 1. C. 93–124.
14. Семенова Т.Ю. Алгоритм поиска точного значения аргумента модуля непрерывности в оценке скорости сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции // Вестн. Москов. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2024. № 4. С. 13–20. https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-65-4-215. Shakirov I.A. About the optimal replacement of the Lebesque constant Fourier operator by a logarithmic function // Lobachevskii J. Math. 2018. Vol. 39, no. 6. P. 841–846. https://doi.org/10.1134/S1995080218060185
17. Jordan C. Sur la s rie de Fourier // C. R. Acad. Sci. 1881. Vol. 92, no. 5. P. 228–230.
16. Semenova T.Yu. Estimation of the approximation of continuous periodic functions by Fourier sums // Russian J. Math. Phys. 2023. Vol. 30, no. 4. P. 691–700. https://doi.org/10.1134/S1061920823040179
18. Стечкин C.Б. О приближении непрерывных функций суммами Фурье // Успехи. мат. наук. 1952. Т. 7, № 4. C. 139–141.
19. Теляковский C.А. О работах С.Б. Стечкина по приближению периодических функций полиномами // Фундамент. и прикл. математика, 1997. Т. 3, № 4. С. 1059–1068.
20. Попов А.Ю., Семенова Т.Ю. Уточнение оценки скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной вариации // Мат. заметки. 2023. Т. 113, № 4. С. 544–559. https://doi.org/10.4213/mzm13743
21. Семенова Т.Ю. Оценка скорости сходимости в принципе локализации Римана для тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций // Мат. заметки. 2024. Т. 116, № 2. С. 290–305. https://doi.org/10.4213/mzm14188
22. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients // J. Math. Phys. 1924. Vol. 3, no. 2. P. 72–94. https://doi.org/10.1002/sapm19243272
23. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p-вариации. Саратов: Изд-во СГУ, 2021. 120 c. ISBN-online: 978-5-292-04736-0. ISBN-print: 978-5-292-04735-3.
https://books.sgu.ru/monographs/978-5-292-04736-0
24. Семенова Т.Ю. Оценка скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной p-вариации // Мат. заметки. 2024. Т. 115, № 2. С. 286–297. https://doi.org/10.4213/mzm13976
25. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Ленинград: Изд-во Ленинградского гос. ун-та, 1982. 367 p.
26. Осколков К.И. Обобщенная вариация, индикатриса Банаха и равномерная сходимость рядов Фурье // Мат. заметки, 1972. Т. 12, № 3. C. 313–324.
27. Пекарский А.А. Замечания к одной работе К.И. Осколкова // Вестн. БГУ им. Ленина. Сер. 1. 1978. №3. С. 62–64.
28. Бесов О.В. Оценка приближения периодических функций суммами Фурье // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 5. C. 784–787. https://doi.org/10.4213/mzm2751
29. Hille E., Klein G. Riemann’s localization theorem for Fourier series // Duke Math. J. 1954. Vol. 21, no. 4. P. 587–591. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-54-02159-6
30. Теляковский С.А. Принцип локализации, оценка скорости сходимости // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 25. C. 178–181.
31. Конюшков А.А. О классах Липшица // Изв. АН СССР. Серия математическая, 1957. Т. 21, № 3. C. 423–448.
32. Гаврилюк В.Т. О приближении непрерывных периодических функций многих переменных суммами Фурье // Докл. АН УССР. 1981. А, № 2. С. 8-11.
Поступила 1.05.2025
После доработки 10.07.2025
Принята к публикации 14.07.2025
Семенова Татьяна Юрьевна
канд. физ.-мат. наук
доцент
Московский государственный университет имени M.B. Ломоносова;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: station@list.ru
Ссылка на статью: Т.Ю. Семенова. Метод С.Б. Стечкина и В.Т. Гаврилюк и его приложения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 3. С. 233-249
English
T.Yu. Semenova. Method of S.B. Stechkin and V.T. Gavrilyuk and its application
In 1978, S.B. Stechkin and V.T. Gavrilyuk, in their work on the rate of convergence of the Fourier series of a continuous function, found a special method for estimating the norm of deviation of a function from the partial sum of its Fourier series, using the integral properties of Dirichlet kernels. The purpose of this article is to recall the main idea of this remarkable work and to show how, using a modification of the method used in it, results were recently obtained for functions of bounded variation, bounded p-variation, an estimate of the rate of convergence in the Riemann localization principle for continuous functions was given, and other problems were solved.
Keywords: Fourier series, rate of convergence, modulus of continuity, functions of bounded variation, Riemann localization principle
Received May 1, 2025
Revised July 10, 2025
Accepted July 14, 2025
Tatiana Yur’evna Semenova, Cand.Sci. (Phys.-Math.), Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: station@list.ru
Cite this article as: T.Yu. Semenova. Method of S.B. Stechkin and V.T. Gavrilyuk and its application. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 3, pp. 233–249.
[References -> on the "English" button bottom right]
