УДК 517.956
MSC: 35M10, 35M12, 53A05
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-87-99
Для гладкого линейного дифференциального уравнения второго порядка с частными производными на плоскости предложена нелокальная каноническая форма его главного символа вблизи линии смены типа с точностью до гладкой замены координат и умножения на гладкую не обращающуюся в ноль функцию. Предполагается, что дискриминант характеристического уравнения и его дифференциал одновременно в ноль не обращаются, а поле характеристических направлений нигде не касается этой линии. Эта форма может быть использована для поиска решений модельных краевых задач для таких уравнений, в частности, применена к поиску малых изгибаний гладких поверхностей, близких к поверхностям вращения, с закреплением вдоль двух кривых вблизи линии смены типа.
Ключевые слова: уравнения смешанного типа, каноническая форма, главный символ, малые изгибания поверхностей
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Трикоми Ф. Линейные уравнения смешанного типа. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.
2. Cibrario M. Sulla riduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine di tipo misto // Ist. Lombardo, Rend. Ser. II. 1932. Vol. 65. P. 889–906.
3. Kasten J.A. Solvability of the boundary value problem for a Tricomi type equation in the exterior of a disk // J. Math. Sci. 2013. Vol. 188, no. 3. P. 268–272. https://doi.org/10.1007/s10958-012-1125-4
4. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. МИАН СССР. Vol. 41. М.: Изд-во АН СССР, 1953. P. 3–59.
5. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour l’equation $y^{2s} Z_{xx}+Z_{yy}=0$ // Ark. Mat. Astr. Fys. 1935. Vol. 25A, no. 10. P. 1–12.
6. Gellerstedt S. Quelques problèmes mixtes pour l’équation $y^m Z_{xx} + Z_{yy} = 0$ // Ark. Mat. Astr. Fys. 1938. Vol. 26A, no. 3. P. 78–93.
7. Бабенко К.И. О задаче Трикоми // Докл. АН СССР. 1986. Vol. 291, № 1. C. 14–19.
8. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. АН. 1993. Т. 332, № 6. P. 696–698.
9. Otway T.H.The Direchlet problem for elliptic-hyperbolic equations of Keldysh type. Ser. Lecture Notes in Math., vol. 2043. Berlin, Heidelberg: Springer, 2012. 214 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-24415-5
10. Dara L. Singularities generiques des equations differentielles multiformes // Bol. Soc Bras. Math. 1975. Vol. 6, no. 2. P. 95–128. https://doi.org/10.1007/BF02584779
11. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
12. Thom R. Sur les equations differentielles multiforms et leur integrales singulieres // Bol. Soc Bras. Math. 1971. Vol. 3, no. 1. P. 1–11. https://doi.org/10.1007/BF02584837
13. Пхакадзе А.В., Шестаков А.А. О классификации особых точек дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной // Мат. сб. 1959. Vol. 49 (91), no. 1. С. 3–12.
14. Давыдов А.А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его приложения. 1985. Т. 19, № 2. P. 1–10.
15. Пилия А.Д., Фёдоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 1971. Т. 60, № 1. С. 389–399.
16. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 205 с. ISBN: 5-288-00241-X .
17. Барлукова А.М., Чупахин А.П. Частично инвариантные решения в газовой динамике и неявные уравнения // Прикл. механика и техн. физика. 2012. Т. 53, № 6. C. 11–24.
18. Давыдов А.А., Росалес-Гонсалес Э. Полная классификация типичных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными на плоскости // Докл. АН. 1996. Т. 350, № 2.
С. 151–154.
19. Davydov A.A., Rosales-Gonzales E. Smooth normal forms of folded resonance saddles and nodes and complete classification of generic linear second order PDE’s on the plane // Proc. Inter. Conf. on Differential Equations (Equadiff 95, Lisbon 1995) / eds. L. Magalhaes, C. Rocha, L. Sanchez. Singapore: World Scientific, 1998 P. 59–68.
20. Кузьмин А.Г. О качественной теории уравнения $a(x,y)y''{-}2b(x,y)y'{+}(c,y)=0$. Деп. в ВИНИТИ. 1981. № 4143-81.
21. Bruce J.W., Fletcher G.J., Tari F. Bifurcations of implicit differential equations // Proc. of the Royal Society of Edinburgh: Sect. A Mathematics. 2000. Vol. 130, no. 3. P. 485–506. https://doi.org/10.1017/S0308210500000263
22. Tari F. Two-parameter families of implicit differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2005. Vol. 13, no. 1. P. 139–162. https://doi.org/10.3934/dcds.2005.13.139
23. Tari F. Two-parameter families of binary differential equations // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2008. Vol. 22, no. 3. P. 759–789. http://dx.doi.org/10.3934/dcds.2008.22.759
24. Davydov A., Ishikawa G., Izumiya S., Sun W.-Z. Generic singularities of implicit systems of first order differential equations on the plane // Jpn. J. Math. 2008. Vol. 3, no. 1. P. 93–119.
https://doi.org/10.1007/s11537-008-0664-4
25. Давыдов А.А., Чинь Тхи Зиеп Л. Нормальные формы семейств линейных уравнений смешанного типа вблизи нерезонансных сложенных особых точек // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65, № 5 (395). P. 189–90. https://doi.org/10.4213/rm9386
26. Богаевский И.А. Неявные обыкновенные дифференциальные уравнения: перестройки и усиление эквивалентности // Изв. РАН. Сер. математическая. 2014. Т. 78, № 6. С. 5–20. https://doi.org/10.4213/im8203
27. Али А.З. Формальные нормальные формы типичных перестроек поверхности в трёхмерном контактном пространстве // Сб. тез. докл. междунар. конф. и междунар. шк. молодых ученых (Суздаль, 2024) / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН [и др.]. Владимир : Изд-во ВлГУ, 2024.
C. 87–88. ISBN 978-5-9984-1747-4 .
28. Давыдов А.А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Мат. сб. 1988. Т. 136 (178), № 4 (8). С. 478–499.
29. Давыдов А.А. Структурная устойчивость управляемых систем на ориентируемых поверхностях // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 1. С. 3–35.
30. Давыдов А.А. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Тр. МИАН: сб. ст. “Особенности гладких отображений с дополнительными структурами” /eds. В.И. Арнольд, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, Физматлит, 1995. С. 84–123.
31. Гришина Ю.А., Давыдов А.А. Структурная устойчивость простейших динамических неравенств // Тр. МИАН. 2007. Vol. 256. С. 89–101.
32. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // Докл. АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–250.
33. Погорелов А.В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. М., Наука, 1986. 93 p.
34. Davydov A.A., Kasten Y.A. On nonlocal normal forms of linear second order mixed type PDEs on the plane // Control Systems and Mathematical Methods in Economics / eds. G. Feichtinger, R. Kovacevic, G. Tragler. Cham: Springer, 2018. P. 15–25 (Ser. Lecture Notes Econom. Math. Syst.; vol. 687).
https://doi.org/10.1007/978-3-319-75169-6_2
35. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
36. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с. ISBN 5-02-014228-X .
Поступила 08.04.2026
После доработки 27.04.2026
Принята к публикации 30.04.2026
Давыдов Алексей Александрович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН, профессор
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: davydov@mi-ras.ru
Кастэн Юлия Александровна
старший преподаватель
Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых
г. Владимир
e-mail: julikasten@bk.ru
Платов Антон Сергеевич
канд. физ.-мат. наук
доцент
Национальный исследовательский технологический университет “МИСИС”
г. Москва
e-mail: platovmm@mail.ru
Ссылка на статью: А.А. Давыдов, Ю.А. Кастэн, А.С. Платов. Нелокальная каноническая форма Трикоми — Чибрарио вблизи замкнутой гладкой линии смены типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 87–99.
English
A.A. Davydov, Yu.A. Kasten, A.S. Platov. Nonlocal canonical form of Tricomi–Cibrario near a smooth closed line of type change
For a smooth linear second-order partial differential equation on the plane, a nonlocal canonical form of its principal symbol near the type change line is proposed, up to a smooth change of coordinates and multiplication by a non-vanishing smooth function. It is assumed that the discriminant of the characteristic equation and its differential do not vanish simultaneously, and that the field of characteristic directions is nowhere tangent to this line. This form can be used to construct solutions to model boundary value problems for such equations; in particular, it is applied to finding infinitesimal bendings of smooth surfaces close to surfaces of revolution, clamped along two curves near the type change line.
Keywords: mixed type equations, canonical form, principal symbol, small bendings of surfaces
Received April 08, 2026
Revised April 27, 2026
Accepted April 30, 2026
Aleksei A. Davydov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corr. Member of the RAS, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia, e-mail: davydov@mi-ras.ru
Yuliya A. Kasten, Senior Lecturer, Vladimir State University named after A.G. and N.G.Stoletovs, Vladimir, Russia, e-mail: julikasten@bk.ru
Anton S. Platov, Cand. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof., National University of Science and Technology MISIS, Moscow, Russia, e-mail: platovmm@mail.ru
Cite this article as: A.A. Davydov, Yu.A. Kasten, A.S. Platov. Nonlocal canonical form of Tricomi–Cibrario near a smooth closed line of type change. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2,
pp. 87–99.
[References -> on the "English" button bottom right]
