УДК 517.977
MSC: 49N70, 49L12, 34K35, 93C23
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-58-76
В статье рассматривается дифференциальная игра, в которой движение динамической системы описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа. Цель управления первого (соответственно, второго) игрока заключается в минимизации (соответственно, максимизации) показателя качества, состоящего из двух слагаемых. Первое слагаемое оценивает движение системы и задается функционалом, который определен на пространстве непрерывных функций, полунепрерывен снизу и локально ограничен сверху. Второе слагаемое представляет собой интегральную оценку движения системы и управлений игроков. Ослабление стандартного предположения о непрерывности показателя качества до полунепрерывности позволяет охватить, в частности, некоторые типичные постановки задач сближения-уклонения и задач на минимакс-максимин времени до встречи с заданным целевым множеством. Доказывается теорема о существовании цены рассматриваемой дифференциальной игры в классах позиционных стратегий управления игроков с памятью истории движения. Основу доказательства составляют результаты из теории минимаксных (обобщенных) решений отвечающей этой игре задачи Коши для наследственного уравнения Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными при краевом условии на правом конце и подходящий вариант метода экстремального прицеливания. В качестве следствия и при дополнительном предположении о выпуклости (расширенной) вектограммы скоростей системы доказывается теорема о том, что рассматриваемая дифференциальная игра, формализованная в классах неупреждающих стратегий управления игроков, также имеет цену, которая совпадает с ценой игры в классах позиционных стратегий. Для доказательства этого утверждения используется результат о существовании неупреждающих селекторов неупреждающих многозначных отображений.
Ключевые слова: дифференциальная игра, система с запаздыванием, полунепрерывный показатель качества, позиционные стратегии, неупреждающие стратегии, цена игры, наследственное уравнение Гамильтона — Якоби, коинвариантные производные, минимаксное решение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
2. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-theoretical control problems. NY: Springer, 1988. 517 p.
3. Осипов Ю.С. Дифференциальная игра наведения для систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, № 1. С. 123–131.
4. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, № 2. С. 300–311.
5. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37, № 1. С. 3–13.
6. Максимов В.И. Альтернатива в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения с функциональной целью // Прикл. математика и механика. 1976. Т. 40, № 6. С. 987–994.
7. Лукоянов Н.Ю. Об уравнении типа Гамильтона — Якоби в задачах управления с наследственной информацией // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 2. С. 252–263.
8. Lukoyanov N.Yu. Functional Hamilton–Jacobi type equations with ci-derivatives in control problems with hereditary information // Nonlinear Funct. Anal. Appl. 2003. Vol. 8, no. 4. P. 535–555.
9. Лукоянов Н.Ю. Стратегии прицеливания в направлении инвариантных градиентов // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, № 4. С. 629–643.
10. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во Урал. федерал. ун-та, 2011. 243 с.
11. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Минимаксные решения уравнений Гамильтона — Якоби в задачах динамической оптимизации наследственных систем // Успехи мат. наук. 2024. Т. 79, № 2. С. 43–144. https://doi.org/10.4213/rm10166
12. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.
13. Subbotin A.I. Generalized solutions of first order PDEs. The dynamical optimization perspective. Boston: Birkhäuser, 1995. 314 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0847-1
14. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Полунепрерывные минимаксные решения задачи Коши для наследственного уравнения Гамильтона — Якоби // Тр. МИАН. 2026. Vol. 332. https://doi.org/10.4213/tm4526 https://www.mathnet.ru/rus/tm4526
15. Гарнышева Г.Г., Субботин А.И. Стратегия минимаксного прицеливания в направлении квазиградиента // Прикл. математика и механика. 1994. Т. 58, № 4. С. 5–11.
16. Кларк Ф., Ледяев Ю.С., Субботин А.И. Универсальное позиционное управление и проксимальное прицеливание в задачах управления в условиях возмущения и дифференциальных играх // Тр. МИАН. 1999. Т. 224. С. 165–186.
17. Zhou J. Viscosity solutions to first order path-dependent HJB equations. 2020. 25 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2004.02095
18. Zhou J. Viscosity solutions to first order path-dependent Hamilton–Jacobi–Bellman equations in Hilbert space // Automatica. 2022. Vol. 142, art. no. 110347. 15 p. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2022.110347
19. Gomoyunov M.I., Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. Path-dependent Hamilton — Jacobi equations: the minimax solutions revised // Appl. Math. Optim. 2021. Vol. 84, Suppl. 1. P. S1087–S1117. https://doi.org/10.1007/s00245-021-09794-4
20. Розыев И., Субботин А.И. Полунепрерывные решения уравнений Гамильтона — Якоби // Прикл. математика и механика. 1988. Т. 52, № 2. С. 179–185.
21. Elliott R.J., Kalton N.J. The existence of value in differential games. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1972. 67 p. https://doi.org/10.1090/memo/0126
22. Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov processes and viscosity solutions. 2nd ed. NY: Springer, 2006. 429 p. https://doi.org/10.1007/0-387-31071-1
23. Yong J. Differential games. A concise introduction. Hackensack, NJ: World Sci. Publ., 2015. 322 p.
24. Cardaliaguet P., Quincampoix M., Saint-Pierre P. Pursuit differential games with state constraints // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 39, no. 5. P. 1615–1632. https://doi.org/10.1137/S0363012998349327
25. Plaskacz S., Quincampoix M. Value-functions for differential games and control systems with discontinuous terminal cost // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 39, no. 5. P. 1485–1498. https://doi.org/10.1137/S0363012998340387
26. Bettiol P., Cardaliaguet P., Quincampoix M. Zero-sum state constrained differential games: existence of value for Bolza problem // Int. J. Game Theory. 2006. Vol. 34, no. 4. P. 495–527.
https://doi.org/10.1007/s00182-006-0030-9
27. Гомоюнов М.И., Серков Д.А. О существовании неупреждающего селектора неупреждающего многозначного отображения // Успехи мат. наук. 2025. Т. 80, № 4. С. 175–176. https://doi.org/10.4213/rm10254
28. Cardaliaguet P., Plaskacz S. Invariant solutions of differential games and Hamilton–Jacobi–Isaacs equations for time-measurable Hamiltonians // SIAM J. Control Optim. 2000. Vol. 38, no. 5. P. 1501–1520. https://doi.org/10.1137/S0363012998296219
29. Ченцов А.Г. Об альтернативе в классе квазистратегий для дифференциальной игры сближения-уклонения // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 10. С. 1801–1808.
30. Гомоюнов М.И., Лукоянов Н.Ю. Цена и оптимальные стратегии в позиционной дифференциальной игре для системы нейтрального типа // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 86–98. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-3-86-98
31. Aubin J.-P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkhäuser, 1990. 461 p.
32. Bettiol P., Vinter R.B. Principles of dynamic optimization. Cham: Springer, 2024. 769 p. https://doi.org/10.1007/978-3-031-50089-3
Поступила 15.09.2025
После доработки 3.11.2025
Принята к публикации 10.11.2025
Гомоюнов Михаил Игоревич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com
Лукоянов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, академик РАН
директор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН,
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: nyul@imm.uran.ru
Ссылка на статью: М.И. Гомоюнов, Н.Ю. Лукоянов. Цена дифференциальной игры для системы с запаздыванием в случае полунепрерывного показателя качества // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 58–76.
English
M.I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov. Existence of the value of a differential game for a time-delay system in the case of a semicontinuous cost functional
We consider a differential game in which a motion of a dynamical system is described by a functional-differential equation of retarded type. The goal of control of the first (respectively, second) player is to minimize (respectively, maximize) a cost functional consisting of two terms. The first term estimates the motion of the system and is specified by a functional that is defined on the space of continuous functions, is lower semicontinuous and locally bounded from above. The second term is an integral estimate of the system motion and controls of the players. Relaxing the standard assumption of continuity of the cost functional to semicontinuity allows to cover, in particular, some typical formulations of approach–evasion problems and problems on the minimax–maximin of the time to encounter with a given target set. We prove a theorem on the existence of the value of the differential game under consideration in classes of feedback (positional) players’ control strategies with memory of motion history. The proof is based on results from the theory of minimax (generalized) solutions of the corresponding to this game Cauchy problem for a path-dependent Hamilton–Jacobi equation with coinvariant derivatives under the right-end boundary condition and an appropriate variant of the extremal aiming method. As a corollary, and under an additional assumption of convexity of the (extended) vectogram of system velocities, we prove a theorem that the considered differential game, formalized in classes of players’ non-anticipative control strategies, also has the value, which coincides with the value of the game in classes of positional strategies. To prove this fact, a result on the existence of non-anticipative selections for non-anticipative multivalued maps is used.
Keywords: differential game, time-delay system, semicontinuous cost functional, feedback strategies, non-anticipative strategies, game value, path-dependent Hamilton–Jacobi equation, coinvariant derivatives, minimax solution
Received September 15, 2025
Revised November 3, 2025
Accepted November 10, 2025
Mikhail Igorevich Gomoyunov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com
Nikolai Yur’evich Lukoyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: nyul@imm.uran.ru
Cite this article as: M.I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov. Existence of the value of a differential game for a time-delay system in the case of a semicontinuous cost functional. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 58–76.
[References -> on the "English" button bottom right]
