УДК 517.977
MSC: 49N75, 49N30, 49N35, 49J45
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-271-295
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения № 075-02-2026-737).
В статье исследуется нелинейная дифференциальная игра сближения-уклонения на конечном промежутке времени. В пространстве позиций заданы целевое множество и множество, формирующее фазовые ограничения посредством своих временных сечений. Предполагается, что целевое множество замкнуто в пространстве позиций с топологией покоординатной сходимости, а множество, формирующее фазовые ограничения, имеет замкнутые временные сечения. Относительно управляемой системы предполагаются выполненными условия непрерывности правой части дифференциального уравнения, а также единственности и равномерной ограниченности траекторий, порожденных обобщенными управлениями (управлениями-мерами). При упомянутых условиях установлена теорема об альтернативной разрешимости дифференциальной игры в классах позиционных процедур управления: схемы управления с поводырем игрока, заинтересованного в сближении с целевым множеством, и стратегии-тройки игрока-уклониста, включающие неупреждающие правила управления моментами коррекции. Для множеств успешной разрешимости игроков, определяющих альтернативное разбиение пространства позиций, указаны представления в терминах конструкций метода программных итераций. Направление исследований восходит к фундаментальной теореме об альтернативе Н. Н. Красовского и А. И. Субботина и к ее последующему распространению на класс систем с правой частью нелипшицевой в смысле зависимости от фазового состояния, установленному А. В. Кряжимским; в упомянутых исследованиях предполагалось также, что и целевое множество, и множество, формирующее фазовые ограничения, замкнуты в топологии покоординатной сходимости пространства позиций.
Ключевые слова: альтернатива, квазистратегии, метод программных итераций, обобщенные программные управления, управление с поводырем
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н., Субботин A.И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90158-9
2. Красовский Н.Н., Субботин A.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
3. Красовский Н.Н., Субботин A.И. Аппроксимация в дифференциальной игре // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 3, № 2. С. 197–204.
4. Красовский Н.Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. I // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 2. С. 3–18.
5. Красовский Н.Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. II // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. № 3. С. 22–42.
6. Кряжимский А.В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения–уклонения // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, № 4. С. 779–782.
7. Кряжимский А.В. Дифференциальные игры для нелипшицевых систем: дис. на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук / Институт математики и механики АН СССР УНЦ. Свердловск, 1980.
8. Осипов Ю. С. Дифференциальные игры систем с последействием // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 4. С. 779–782.
9. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр для систем с последействием // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35, № 2. С. 300–311. https://doi.org/10.1016/0021-8928(71)90032-3
10. Ушаков А.В. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29–36.
11. Тарасьев А.М., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О построении множеств позиционного поглощения в игровых задачах управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 1, С. 160–177.
12. Субботин A.И., Ченцов A.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
13. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 1 // Докл. АН СССР. 1967. Т. 174, № 6. С. 1278–1280.
14. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх, 2 // Докл. АН СССР. 1967. Т. 175, № 4.
С. 764–766.
15. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
16. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. Т. 224, № 6.
С. 1272–1275.
17. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 1. С. 73–76.
18. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99 (141),
№ 3. С. 394–420.
19. Чистяков С.В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 5. С. 825–832.
20. Ухоботов В.И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математика и механика.1977. Т. 41, № 2. С. 358–364.
21. Ченцов А.Г. Дифференциальная игра сближения-уклонения: альтернативная разрешимость и построение релаксаций // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. С. 1116–1141.
22. Ченцов А.Г. Дифференциальная игра сближения-уклонения: альтернативная разрешимость и релаксации задачи сближения // Труды МИАН. 2021. Т. 315. С. 284–303. https://doi.org/10.4213/tm4210
23. Ченцов А.Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Изв. ИМИ УдГУ. 2017. Т. 49. С. 17–54.
24. Ченцов А.Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26, № 2. С. 271–282. https://doi.org/10.20537/vm160213
25. Ченцов А.Г., Серков Д.А. Непрерывная зависимость множеств в пространстве мер и задача на программный минимакс // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 2. С. 277–299. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2024-30-2-277-299
26. Ченцов А.Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры, I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. 389 с.
27. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.
28. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 432 с.
29. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М. : Гос. изд-во иностр. литер-ры, 1962.
30. Ченцов А. Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. С. 304–321. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2016-22-2-304-321
31. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.
32. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.
33. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 312 c.
Поступила 10.02.2026
После доработки 5.03.2026
Принята к публикации 10.03.2026
Ченцов Александр Георгиевич,
д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Институт радиоэлектроники и информационных технологий
Уральский федеральный университет
e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Серков Дмитрий Александрович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Институт радиоэлектроники и информационных технологий
Уральский федеральный университет
e-mail: serkov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: А.Г. Ченцов, Д.А. Серков. К альтернативной разрешимости в задаче сближения-уклонения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 271–295.
English
A.G. Chentsov, D.A. Serkov. On alternative solvability in the approach-evasion problem
This article investigates a nonlinear approach-evasion differential game on a finite time interval. In the position space, the target set and the set that forms the state constraints by its time sections are given. It is assumed that the target set is closed in the position space with a coordinate-wise convergence topology, while the set generating the state constraints has closed time sections. With respect to the controlled system, the conditions of continuity of the right-hand side of the differential equation, uniqueness and uniform boundedness of the trajectories generated by relaxed controls (control measures) are assumed to be satisfied. Under these conditions, a theorem on the alternative solvability of the differential game is established in classes of positional control procedures: control scheme with a guide for a player interested in approaching the target set, and triplet-strategies including non-anticipating control of correction moments for an evading player. For the sets of successful solvability of players that define an alternative partition of the position space, representations are given in terms of the program iteration method constructions. The research goes back to the fundamental theorem on the alternative by N. N. Krasovskii and A. I. Subbotin and its subsequent extension to the class of systems with non-Lipschitz right-hand side (in the sense of state dependence), established by A. V. Kryazhimskii (in the aforementioned studies both the target set and the set forming the phase constraints supposed to be closed in the topology of coordinate-wise convergence).
Keywords: alternative, non-anticipative strategies, program iteration method, generalized program controls, guided control
Received February 10, 2026
Revised March 5, 2026
Accepted March 10, 2026
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number 075-02-2026-737).
Aleksandr Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Corresponding Member of RAS, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru
Dmitrii Aleksandrovich Serkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia; Ural Federal University Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: serkov@imm.uran.ru
Cite this article as: A.G. Chentsov, D.A. Serkov. On alternative solvability in the approach-evasion problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 271–295.
[References -> on the "English" button bottom right]
