УДК 517.977
MSC: 49K15, 93C41, 93E12
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-221-230
В статье исследуется задача реализации предписанного решения линейного стохастического дифференциального уравнения, в котором действуют неизвестное возмущение и управление, подлежащее формированию. Фактически требуется разработать алгоритм подавления возмущения с помощью соответствующего управления на основе дискретной информации о некотором количестве реализаций случайного процесса. При найденном управлении решение исходного уравнения должно отслеживать в слабой метрике решение эталонного уравнения той же структуры, но без возмущения и управления. С помощью метода моментов задача сводится к задаче реализации некоторого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют математическое ожидание и ковариационная матрица исходного процесса. Обосновывается применимость алгоритма формирования управления по принципу обратной связи, разработанного ранее для обыкновенных дифференциальных уравнений, и предлагается соответствующая его модификация, для которой точность оценивается относительно количества доступных измерению реализаций. Приводится модельный пример, иллюстрирующий конструктивность алгоритма.
Ключевые слова: стохастическое дифференциальное уравнение, подавление возмущения, метод моментов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
2. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1984. 456 с.
3. Kwakernaak H. $H_2$-optimization — theory and applications to robust control design // Annu. Rev. Control. 2002. Vol. 26, no. 1. P. 45–56.
4. Willems J.C. Feedforward control, PID control laws, and almost invariant subspaces // Syst. Control Lett. 1982. Vol. 1, no. 4. P. 277–282.
5. Yuan Y., Wang Z., Yu Y., Guo L., Yang H. Active disturbance rejection control for a pneumatic motion platform subject to actuator saturation: an extended state observer approach // Automatica. 2019. Vol. 107.
P. 353–361.
6. Chen W.H., Yang J., Guo L., Li H. Disturbance-observer-based-control and related methods: an overview // IEEE Trans. Ind. Electon. 2015. Vol. 63, no. 2. P. 1083–1095.
7. Cayero J., Rotondo D., Marcego B., Puig V. Optimal state observation using quadratic boundedness: application to UAV disturbance estimation // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2019. Vol. 29, no. 1. P. 99–109.
8. Maksimov V.I. On the stable solution of a problem of disturbance reduction // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2021. Vol. 31, no. 2. P. 187–194.
9. Максимов В.И. Об устойчивом решении задачи компенсации негладких аддитивных возмущений с помощью законов обратной связи // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2023. № 2. C. 60–72.
10. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. L.: Gordon and Breach, 1995. 625 p.
11. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51–60.
12. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2000. 305 с.
13. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы восстановления входов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. C. 129–161.
14. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 642 с.
15. Розенберг В.Л. Задача динамического восстановления неизвестной функции в линейном стохастическом дифференциальном уравнении // Автоматика и телемеханика. 2007. № 11. С. 76–87.
16. Розенберг В.Л. Восстановление внешних воздействий при дефиците информации в линейном стохастическом уравнении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 236–244.
17. Rozenberg V.L. On a problem of dynamical input reconstruction for a system of special type under conditions of uncertainty // AIMS Mathematics. 2020. Vol. 5, no. 5. P. 4108–4120.
18. Ширяев А.Н. Вероятность, статистика, случайные процессы. Ч. I, II. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. 628 с.
19. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003. 408 с.
20. Ryashko L., Bashkirtseva I. Exponential mean square stability analysis of invariant manifolds for nonlinear SDE’s // Stochastic Differential Equations / ed. N. Halidias. Ser. Mathematics Research Developments. Nova Science Publishers, 2011. Ch. 4, P. 67–95.
21. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985. 640 с.
22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.
23. Мильштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1988. 224 с.
Поступила 30.04.2026
После доработки 14.05.2026
Принята к публикации 18.05.2026
Розенберг Валерий Львович
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
e-mail: rozen@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.Л. Розенберг. О реализации предписанного решения линейного стохастического дифференциального уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 221–230.
English
V.L. Rozenberg. On realization of a prescribed solution to a linear stochastic differential equation
The paper investigates the problem of realizing a prescribed solution of a linear stochastic differential equation subject to an unknown disturbance and a control to be determined. Essentially, it is required to develop an algorithm for suppressing the disturbance by means of an appropriate control based on discrete information about a certain number of realizations of the random process. Under the designed control, the solution of the original equation must track, in a weak metric, the solution of a reference equation of the same structure but without disturbance and control. Using the method of moments, the problem is reduced to realizing a certain solution of a system of ordinary differential equations describing the mathematical expectation and covariance matrix of the original process. The applicability of a feedback control algorithm previously developed for ordinary differential equations is justified, and a corresponding modification is proposed, for which the accuracy is estimated with respect to the number of measurable realizations available. A model example illustrating the constructiveness of the algorithm is given.
Keywords: stochastic differential equation, disturbance reduction, method of moments
Received April 30, 2026
Revised May 14, 2026
Accepted May 18, 2026
Valeriy Lvovich Rozenberg, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: rozen@imm.uran.ru
Cite this article as: V.L. Rozenberg. On realization of a prescribed solution to a linear stochastic differential equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 221–230.
[References -> on the "English" button bottom right]
