УДК 519.63
MSC: 65N06, 65Q20
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-186-202
Рассматривается уравнение с дробными производными Рисса по двум пространственным переменным с несколькими переменными запаздываниями. Особенность задачи состоит в нелинейной зависимости коэффициента диффузии от искомой функции. Приводятся конструкции нелинейного аналога метода переменных направлений с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением. Аппроксимация нелинейного коэффициента диффузии производится с учетом приближенных значений искомой функции на предыдущих временных слоях. Показана однозначная разрешимость алгоритма. Доказано, что при определенных условиях гладкости решения исходной задачи, порядок локальной погрешности второй относительно пространственных и временных шагов дискретизации. Исследована устойчивость алгоритма. Доказана теорема о порядке сходимости в энергетической норме. Приведен результат численного эксперимента.
Ключевые слова: дробные производные Рисса, уравнение супердиффузии, нелинейный коэффициент диффузии, запаздывание, метод переменных направлений, интерполяция, экстраполяция, устойчивость, сходимость
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Meerschaert M.M., Scheffler H.P., Tadjeran C. Finite difference methods for two dimensional fractional dispersional // J. Comput. Phys. 2006. Vol. 211, no. 1. P. 249–261. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2005.05.017
2. Tian W., Zhou H., Deng W. A class of second order difference approximation for solving space fractional diffusion equations // Math. Comput. 2015. Vol. 84, no. 294. P. 1703–1727.
https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02917-2
3. Jin X.Q., Lin F.R., Zhao Z. Preconditioned iterative methods for two-dimensional space-fractional diffusion equations // Commun. Comput. Phys. 2015. Vol. 18, no. 2. P. 469–488. https://doi.org/10.4208/cicp.120314.230115a
4. Lin X.L., Ng M.K. A fast solver for multidimensional time–space fractional diffusion equation with variable coefficients // Comput. Math. Appl. 2017. Vol. 78, no. 5. P. 1477–1489. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.04.012
5. Lin X.L., Ng M.K., Sun H.W. Stability and convergence analysis of finite difference schemes for time-dependent space-fractional diffusion equation with variable diffusion coefficients // J. Sci. Comput. 2018. Vol. 75, no. 2. P. 1102–1127. https://doi.org/10.1007/s10915-017-0581-x
6. Yue X., Shu S., Xu X., Bu W., Pan K. Parallel-in-time multigrid for space-time finite element approximations of two-dimensional space-fractional diffusion equations // Comput. Math. Appl. 2019. Vol. 78, no. 11.
Pp. 3471–3484. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2019.05.017
7. Ibrahim M., Pimenov V.G. Crank–Nikolson scheme for two-dimensional in space fractional equations with functional delay // Изв. ИМИ УдГУ. 2021. Т. 57. С. 128–141. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2021-57-05
8. Zhang X., Gu X.-M., Zhao Y.-L. Two fast finite difference methods for a class of variable-coefficient fractional diffusion equations with time delay // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2025. Vol. 140, part 1. Art. no. 108358. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2024.108358
9. Arenas A., Gonzalez-Parra G., Caraballo B. A nonstandard finite difference scheme for a nonlinear black-scholes equation // Math. Comput. Model. 2013. Vol. 57, no. 7–8. P. 1663–1670. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.11.009
10. Srivastava V., Kumar S., Awasthi M., Singh B.K. Two-dimensional time fractional-order biological population model and its analytical solution // Egyptian J. Basic Appl. Sci. 2014. Vol. 1, no. 1. P. 71–76.
https://doi.org/10.1016/j.ejbas.2014.03.001
11. Maslovskaya A., Kuttler Ch., Shevkun I., Chebotarev A., Kovtanyuk A. Quorum sensing model for nutrient-dependent evolution of cultured bacteria: theoretical framework and in silico study // Nonlinear Dyn. 2025. Vol. 113. P. 7519–7534. https://doi.org/10.1007/s11071-024-10721-9
12. Pimenov V.G., Lekomtsev A.V. Numerical method for solving the nonlinear superdiffusion equation with functional delay // Mathematics. 2023. Vol. 11, no. 18. Art. no. 3941. https://doi.org/10.3390/math11183941
13. Пименов В.Г., Лекомцев А.В. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. C. 102–118.
14. Celik C., Duman M. Crank–Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative // J. Comput. Phys. 2012. Vol. 231, no. 4. P. 1743–1750. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2011.11.008
15. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
Поступила 8.11.2025
После доработки 10.02.2026
Принята к публикации 16.02.2026
Пименов Владимир Германович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. кафедрой
Уральский федеральный университет;
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru
Лекомцев Андрей Валентинович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: avlekomtsev@urfu.ru
Ссылка на статью: В.Г. Пименов, А.В. Лекомцев. Метод переменных направлений для нелинейного супердиффузионного уравнения с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 186–202.
English
V.G. Pimenov, A.V. Lekomtsev. The method of alternative directions for a nonlinear superdiffusion equation with a delay
An equation with fractional Riesz derivatives with respect to two spatial variables with several delay variables is considered. The problem is characterized by a nonlinear dependence of the diffusion coefficient on the unknown function. Constructions of a nonlinear analog of the alternating directions method with piecewise linear interpolation and extrapolation by continuation are presented. The approximation of the nonlinear diffusion coefficient is performed taking into account the approximate values of the unknown function on the previous time layers. Unique solvability of the algorithm is shown. It is proved that under certain conditions of smoothness of the solution of the original problem, the order of the local error is the second with respect to spatial and temporal discretization steps. The stability of the algorithm is investigated. A theorem on the order of convergence in the energy norm is proved. Result of numerical experiment is presented.
Keywords: fractional derivatives of Riesz, superdiffusion equation, nonlinear diffusion coefficient, delay, alternating direction method, interpolation, extrapolation, stability, convergence
Received November 8, 2025
Revised February 10, 2026
Accepted February 16, 2026
Vladimir Germanovich Pimenov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 600000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: v.g.pimenov@urfu.ru
Andrey Valentinovich Lekomtsev, Cand. Sci (Phys.-Math.), Associate Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 600000 Russia, e-mail: avlekomtsev@urfu.ru
Cite this article as: V.G. Pimenov, A.V. Lekomtsev. Метод переменных направлений для нелинейного
супердиффузионного уравнения с запаздыванием. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 186–202.
[References -> on the "English" button bottom right]
