УДК 517.977
MSC: 93C15, 93B52
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-148-164
Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (номер соглашения № 075-02-2026-737).
Рассматриваются две задачи управления по принципу обратной связи линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Суть первой задачи состоит в построении алгоритма формирования управления, обеспечивающего сопровождение нелинейной системы с неизвестной правой частью, а именно обеспечивающего близость в равномерной метрике решения линейной управляемой системы к решению нелинейной системы. Во второй задаче нелинейная система заменяется линейной, являющейся “копией” системы, содержащей управление. При этом вместо управления в ней присутствует неизвестное возмущение. Задача сопровождения в этом случае состоит в построении алгоритма формирования управления, обеспечивающего отслеживание решением управляемой системы решения системы с возмущением. При этом израсходованные ресурсы сопровождающей стороны могут лишь незначительно превосходить ресурсы, израсходованные сопровождаемой стороной. В работе указывается ориентированный на компьютерную реализацию алгоритм, который применим для решений обеих задач, но при различных информационных условиях. Приводятся оценки скорости сходимости алгоритма.
Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения, управление с обратной связью
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.
ISBN: 5-02-002561-5 .
2. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Наука, 2007. 280 с. ISBN 5457966739, 9785457966734 .
3. Chen W.H., Yang J., Guo L., Li H. Disturbance-observer-based control and related methods: an overview // IEEE Trans. Ind. Electron. 2015. Vol. 63, no. 2. P. 1083–1095. https://doi.org/10.1109/TIE.2015.2478397
4. Yuan Y., Wang Z., Yu V., Guo L., Yang H. Active disturbance rejection control for a pneumatic motion platform subject to actuator saturation: an extended state observer approach // Automatica. 2019. Vol. 107.
P. 353–361. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.05.056
5. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю.Алгоритм прецизионного управления динамическим объектом в условиях неопределённости, полученный на основе адаптивной системы с эталонной моделью // Докл. АН. 2009. Т. 429, № 2. С. 176–179.
6. Глущенко А.И., Ласточкин К.А. Адаптивное управление с гарантией экспоненциальной устойчивости. Ч. 2. Объекты с кусочно-постоянными параметрами // Автоматика и телемеханика. 2023. № 3. С. 65–81. https://doi.org/10.31857/S0005231023030042
7. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит. 2004. 502 c. ISBN: 5-9221-0543-4 .
8. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И.М., Решмин С.Ф. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с. ISBN: 5-9221-0678-3 .
9. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.
10. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 518 с.
11. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.
12. Осипов Ю.С. Избранные труды. М.: Изд-во Московского университета, 2009. 654 с.
ISBN 978-5-211-05766-1
13. Osipov Yu. S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.
14. Osipov Yu.S., Maksimov V. Application of locally regularized extremal shift to the problem of realization of a prescribed motion // J. Inverse and ill-posed Probl. 2024. Vol. 32, no. 5. P. 1033–1049. https://doi.org/10.1515/jiip-2024-0018
15. Осипов Yu.С., Максимов В.И. Обратная связь в задаче управления системой с разрывной правой частью // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 4. С. 552–571. https://doi.org/10.31857/S0374064121040099
16. Осипов Ю.С., Максимов В.И. Отслеживание решения нелинейного распределенного дифференциального уравнения законами обратной связи // Сиб. журн. вычисл. математики. 2018. Т. 21, № 2. С. 201–213. https://doi.org/10.15372/SJNM20180206
17. Kryazhimskii A.V., Maksimov V.I. Resource-saving infinite-horizon tracing under uncertain input // Appl. Math. Comput. 2010. Vol. 217, no. 5. P. 1135–1140. https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.01.014
Поступила 10.02.2026
После доработки 16.03.2026
Принята к публикации 23.03.2026
Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Ссылка на статью: В.И. Максимов. Об одном алгоритме решения линейной задачи сопровождения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 148–164.
English
Maksimov V. I. An algorithm for solving a linear guidance problem
Two feedback control problems for a linear system of ordinary differential equations are considered. The first problem consists in constructing an algorithm for forming a control providing the guidance of a nonlinear system with unknown right-hand part. Namely, the closeness in uniform metric of a solution of the linear controlled system and a solution of the nonlinear system is required. In the second problem, the nonlinear system is replaced by a linear one being a copy of the original controlled system. The latter system includes an unknown disturbance instead of a control. In the case, the guidance problem is to construct an algorithm for forming a control providing the guidance of a solution of the system with disturbance by a solution of the controlled system. In this process, the expended resources of the guiding side can only slightly exceed the expended resources of the guided side. An algorithm oriented to computer realization is designed. This algorithm is applicable for solving both problems but under different informational conditions. Estimates of algorithm’s convergence rate are specified.
Keywords: linear differential equations, feedback control
Received February 10, 2026
Revised March 16, 2026
Accepted March 23, 2026
Funding Agency: The work was performed as part of research conducted in the Ural Mathematical Center with the financial support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement number № 075-02-2026-737).
Vyacheslav Ivanovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620077 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru
Cite this article as: Maksimov V.I. An algorithm for solving a linear guidance problem. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 148–164.
[References -> on the "English" button bottom right]
