УДК 517.911.5, 517.927.4, 517.988.525
MSC: 34A36, 34A40, 34B15, 34C12
https://doi.org/10.21538/0134-4889-2026-32-2-100-111
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 25-21-00819, https://rscf.ru/project/25-21-00819/).
Исследуется двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с возрастающей (и необязательно непрерывной) по фазовой переменной правой частью. Эта задача записывается в виде эквивалентного интегрального уравнения в пространстве суммируемых функций. К интегральному уравнению применены результаты о неподвижных точках монотонных операторов. Таким образом, для рассматриваемой краевой задачи получены условия существования экстремальных решений и монотонной зависимости от параметров множества решений. В качестве приложений рассмотрено дифференциальное уравнение нейронной сети с разрывной функцией активации нейронов. Получены утверждения о разрешимости двухточечной краевой задачи и о корректности этой задачи относительно изменений порога активации, коэффициентов уравнения, функции внешних воздействий и значений краевых условий.
Ключевые слова: краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, монотонная зависимость решений от параметров, неподвижная точка монотонного оператора
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 2. С. 88–102.
2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.
3. Толстоногов А.А. Prox-регулярный процесс выметания, связанный с максимально монотонным дифференциальным включением // Изв. РАН. Сер. математическая. 2025. Т. 89, № 5. С. 181–232. https://doi.org/10.4213/im9701
4. Осипов Ю.С., Максимов В.И. Обратная связь в задаче управления системой с разрывной правой частью // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, № 4. С. 552–571. https://doi.org/10.31857/S0374064121040099
5. Финогенко И.А. Об асимптотическом поведении решений неавтономных дифференциальных включений с набором нескольких функций Ляпунова // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2025. Т. 39, № 150. С. 170–182. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2025-30-150-170-182
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.
7. Атмания Р., Бурлаков Е.О., Мальков И.Н. О существовании и устойчивости решений типа “кольцо” уравнений нейронного поля Амари с периодической микроструктурой и функцией активации Хевисайда // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2022. Т. 27, № 140. С. 318–327.
https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-140-318-327
8. Жуковский Е.С., Патрина А.С. Устойчивость неподвижных точек в упорядоченных пространствах. Приложения к краевым задачам для уравнений типа Хопфилда нейронной сети // Дифференциальные уравнения. 2025. Т. 61, № 11. С. 1443–1459. https://doi.org/10.7868/S3034503025110012
9. Жуковский Е.С. Неравенства Вольтерра в функциональных пространствах // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 9. С. 3–18. https://doi.org/10.4213/sm842
10. Гуров C.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. М.: URSS, Либроком, 2013. Изд. 2-е. 348 с.
11. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topol. Appl. 2015. Vol. 179, no. 1. P. 13–33. https://doi.org/10.1016/j.topol.2014.08.013
12. Granas A., Dugundji D. Fixed point theory. NY: Springer-Verlag, 2003. 690 p.
13. Кобзаш С. Неподвижные точки и полнота в метрических и обобщенных метрических пространствах. // Фундамент. и прикл. математика. 2018. Т. 22, № 1. С. 127–215.
14. Люстерник Л.А., В.И. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1982. 272 с.
15. Серова И.Д. Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2021. Т. 26, № 135. С. 305–314. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2021-26-135-305-314
16. Шрагин И.В. Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори. // Вестн. Тамбов. ун-та. Сер.: естест. и техн. науки. 2014. Т. 19, № 2. С. 476–478.
17. Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука, 1973. 352 с.
18. Ланина А.С., Плужникова Е.А. О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2022. Т. 27, № 139. С. 270–283. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2022-27-139-270-283
19. Патрина А.С. О краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, моделирующей электрическую активность головного мозга // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2023. Т. 28, № 144. С. 383–394. https://doi.org/10.20310/2686-9667-2023-28-144-383-394
Поступила 15.02.2026
После доработки 27.02.2026
Принята к публикации 02.03.2026
Жуковский Евгений Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
директор научно-образовательного центра
“Фундаментальные математические исследования”
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: zukovskys@mail.ru
Патрина Анастасия Сергеевна
аспирант, ассистент кафедры функционального анализа
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина
г. Тамбов
e-mail: lanina.anastasiia5@mail.ru
Ссылка на статью: Е.С. Жуковский, А.С. Патрина. Некоторые порядковые свойства множеств решений краевых задач // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2026. Т. 32, № 2. С. 100-111
English
E.S. Zhukovskiy, A.S. Patrina. Some order properties of solution sets of boundary value problems
A two-point boundary value problem for an ordinary differential equation with a right-hand side increasing (and not necessarily continuous) in the phase variable is investigated. This problem is written as an equivalent integral equation in the space of summable functions. Results on fixed points of monotone operators are applied to the integral equation. Thus, conditions for the existence of extremal solutions and monotone dependence on the parameters of the solution set are obtained for the boundary value problem under consideration. As an application, a differential equation for a neural network with a discontinuous neuron activation function is considered. Statements are obtained on the solvability of the two-point boundary value problem and on the well-posedness of this problem with respect to changes in the activation threshold, equation coefficients, external influence function, and boundary condition values.
Keywords: boundary value problem for an ordinary differential equation, monotone dependence of solutions on parameters, fixed point of a monotone operator
Received February 15, 2026
Revised February 27, 2026
Accepted March 02, 2026
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project № 25-21-00819, https://rscf.ru/project/25-21-00819/.
Evgeny Semenovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: zukovskys@mail.ru
Anastasia Sergeevna Patrina, Derzhavin Tambov State University, Tambov, 392000 Russia, e-mail: lanina.anastasiia5@mail.ru
Cite this article as: E.S. Zhukovskiy, A.S. Patrina. Some order properties of solution sets of boundary value problems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2026, vol. 32, no. 2, pp. 100–111.
[References -> on the "English" button bottom right]
