Online First 2025
УДК 512.5
MSC: 20G40
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект 25-21-20059, https://rscf.ru/project/25-21-20059/ .
Группу, порожденную тремя инволюциями, две их которых перестановочны, будем называть $(2\times 2,2)$-порожденной. Класс таких групп замкнут относительно гомоморфных образов, если по определению единичную группу считаем таковой и не исключаем совпадения двух или всех трех инволюций. В частности, в нашем определении любая диэдральная группа является $(2\times 2,2)$-порожденной. Вопрос о $(2\times 2,2)$-порождаемости конечных простых групп был поставлен В.Д. Мазуровым в Коуровской тетради в 1980 году. Ответ на этот вопрос известен, и он положителен, за исключением трех знакопеременных групп, некоторых групп лиева типа ранга не больше трех и четырех спорадических групп. В данной статье рассматривается $(2\times 2,2)$-порождаемость общей линейной группы $GL_n(q)$ над конечным полем порядка~$q$ и ее проективного образа $PGL_n(q)$. Доказано, что $GL_n(q)$ (соответственно $PGL_n(q)$) тогда и только тогда является $(2\times 2,2)$-порожденной, когда либо a) $q=2$ и $n=2$ или $n\geq5$, либо б) $q=3$ и $n\geq 5$ (соответственно когда либо а) $n=2$ и $q$ любое, либо б) $n\geq 4$ и $(n,q-1)=2$, либо в) $n\geq 5$ и $(n,q-1)=1$).
Ключевые слова: общая и проективная линейные группы, конечное поле, порождающие тройки инволюций.
Поступила 11.04.2025
После доработки 25.04.2025
Принята к публикации 28.04.2025
Опубликована онлайн 15.05.2025
Марковская Ирина Александровна
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики,
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: mark.i.a@mail.ru
Нужин Яков Нифантьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Институт математики и фундаментальной информатики,
Сибирский федеральный университе
г. Красноярск
e-mail: nuzhin2008@rambler.ru
Ссылка на статью: Е.М.Вечтомов. Об условно полных сверху обобщенных булевых решетках // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. doi: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03
I.A. Markovskaya, Ya.N. Nuzhin. On generation of the group GLn(q) by three involutions, two of which commute.
A group generated by three involutions, two of which commute, will be called $(2\times 2,2)$-generated. The class of such groups is closed with respect to homomorphic images, if, by definition, we consider the identity group as such and do not exclude the coincidence of two or all three involutions. For finite simple groups, the question of generation by three involutions, two of which commute, was formulated by V.D. Mazurov in the Kourovka notebook in 1980. The answer to this question is known, and it is positive, excluding three alternating groups, some groups of Lie type of rank no more than three, and four sporadic groups. This article considers the $(2\times 2,2)$-generation of the general linear group over a finite field and its projective image $PGL_n(q)$. It is proven that $GL_n(q)$ (respectively $PGL_n(q)$) is $(2\times 2,2)$-generated if and only if a) $q=2$ and $n=2$ or $n\geq5$, or b) $q=3$ and $n\geq5$ (respectively, when either a) $n=2$ and any $q$, or b) $n\geq 4$ and $(n,q-1) =2$, or c) $n\geq 5$ and $(n,q-1)=1$).
Keywords: general and projective linear groups, finite field, generating triples of involutions.
Received April 11, 2024
Revised April 25, 2024
Accepted April 28, 2025
Published online May 15, 2025
Funding Agency: This work was supported by Russian Science Foundation, project 25-21-20059, https://rscf.ru/project/25-21-20059/.
Irina Aleksandrovna Markovskaya, doctoral student, Institute of Mathematics and Computer Science of the Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: mark.i.a@mail.ru.
Yakov Nifantievich Nuzhin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof. Institute of Mathematics and Computer Science of the Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: nuzhin2008@rambler.ru.
Cite this article as: I.A. Markovskaya, Ya.N.Nuzhin. I.A. Markovskaya, Ya.N. Nuzhin. On generation of the group GLn(q) by three involutions, two of which commute. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025. doi: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-fon-03
