Xuanlong Ma, Peter J. Cameron. Finite groups whose commuting graph is split ... P. 280-283

MSC: 05C25, 20D60

DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-1-280-283

As a contribution to the study of graphs defined on groups, we show that for a finite group $G$ the following statements are equivalent: the commuting graph of $G$ is a split graph;  the commuting graph of $G$ is a threshold graph;  either $G$ is abelian, or $G$ is a generalized dihedral group $D(A)=\langle A,t:(\forall a\in A)(at)^2=1\rangle$ where $A$ is an abelian group of odd order.

Keywords: сommuting graph, split graph, threshold graph, generalized dihedral group


1.   Bhowal P., Cameron P.J., Nath R.K., and Sambale B. Solvable conjugacy class graph of groups. Discrete Math., 2023, vol. 346, no. 8, art. no. 113467. doi: 10.1016/j.disc.2023.113467

2.   Brauer R. and Fowler K.A. On groups of even order. Ann. Math. (2), 1955, vol. 62, pp. 565–583.

3.   Britnell J.R. and Gill N. Perfect commuting graphs. J. Group Theory, 2017, vol. 20, pp. 71–102. doi: 10.1515/jgth-2016-0024

4.   Cameron P.J. Graphs defined on groups. Internat. J. Group Theory, 2022, vol. 11, pp. 53–107. doi: 10.22108/IJGT.2021.127679.1681

5.   Cameron P.J., Manna P., and Mehatari R., On finite groups whose power graph is a cograph. J. Algebra, 2022, vol. 591, pp. 59–74. doi: 10.1016/j.jalgebra.2021.09.034

6.   Chvátal V. and Hammer P.L. Aggregations of inequalities in integer programming. Ann. Discrete Math., 1977, vol. 1, pp. 145–162. doi: 10.1016/S0167-5060(08)70731-3

7.   Foldes S. and Hammer P.L. Split graphs. In: Proceedings of the 8th South-Eastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing, 1977, pp. 311–315.

8.   Landau E.  Über die Klassenzahl der  binären quadratischen Formen von negativer Discriminante. Math. Ann., 1903, vol. 56, pp. 671–676.

Received October 1, 2023

Revised December 5, 2023

Accepted December 6, 2023

Xuanlong Ma, School of Science, Xi’an Shiyou University, Xi’an 710065, P.R. China, e-mail: xuanlma@mail.bnu.edu.cn

Peter J. Cameron, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, North Haugh, St Andrews, Fife, KY16 9SS, UK, e-mail: pjc20@st-andrews.ac.uk

Cite this article as: Xuanlong Ma, Peter J. Cameron. Finite groups whose commuting graph is split. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 1, pp. 280–283.


Сюаньлун Ма, Питер Дж. Камерон. Конечные группы, чьи графы коммутативности расщепляемы

В качестве вклада в изучение графов, определенных на группах, мы показываем, что для конечной группы $G$ эквивалентны следующие утверждения: граф коммутативности группы $G$ является расщепляемым графом; граф коммутативности группа $G$ является пороговым графом; либо группа $G$ абелева, либо $G$ - обобщенная группа диэдра $D(A)=\langle A,t:(\forall a\in A)(at)^2=1\rangle$, где $A$ - абелева группа нечетного порядка.

Ключевые слова: граф коммутативности, расщепляемый граф, пороговый граф, обобщенная группа диэдра