УДК 517.96;517.984
MSC: 35L20, 35C10
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-215-238
Полный текст статьи (Full text)
В работе исследуются ряды формальных решений двух смешанных задач для волнового уравнения методом, базирующимся на привлечении расходящихся рядов в понимании Л. Эйлера. Дается обоснование законности приводимого метода. Указанный метод обладает большой экономичностью в использовании известных математических фактов. Тем самым открывается перспектива существенного продвижения в исследовании краевых задач для уравнений в частных производных.
Ключевые слова: метод Фурье, смешанная задача, волновое уравнение, расходящийся ряд, резольвента
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.
2. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 368 с.
3. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. 112 с.
4. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Резольвентный подход в методе Фурье // Докл. РАН. 2014. Т. 458, № 2. С. 138–140. doi: 10.7868/S0869565214260041
5. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Резольвентный подход для волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 2. С. 229–241. doi: 10.7868/S0044466915020052
6. Хромов А.П. Поведение формального решения смешанной задачи для волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 2. С. 239–251. doi: 10.7868/S0044466916020149
7. Хромов А.П. О сходимости формального решения по методу Фурье волнового уравнения с суммируемым потенциалом // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 10. С. 1795–1809. doi: 10.7868/S0044466916100112
8. Корнев В.В., Хромов А.П. Резольвентный подход в методе Фурье для волнового уравнения в несамосопряженном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 7. С. 1156–1167. doi: 10.7868/S004446691507008X
9. Корнев В.В., Хромов А.П. Резольвентный подход к методу Фурье в смешанной задаче для неоднородного волнового уравнения // Изв. Саратовского ун-та. Новая cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 403–413. doi: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-403-413
10. Хромов А.П. Классическое решение методом Фурье смешанной задачи // Новые методы аппроксимации в задачах действительного анализа и спектральной теории / А. П. Хромов, С. Ф. Лукомский, С. П. Сидоров, П. А. Терехин. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2015. С. 6–94.
11. Хромов А.П. Необходимые и достаточные условия существования классического решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения в случае суммируемого потенциала // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 5. C. 717–731. doi: 10.1134/S0374064119050121
12. Хромов А.П., Корнев В.В. Классическое и обобщенные решения смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2019. Т. 59, № 2. C. 286–300. doi: 10.1134/S0044466919020091
13. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 580 с.
14. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951. 504 с.
15. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и функциональные уравнения, связанные с аналогами геометрической прогрессии // Современные методы теории краевых задач: материалы Междунар. науч. конф.: Воронежская весен. мат. шк. “Понтрягинские чтения — XXX” (Воронеж, 3–9 мая 2019). Воронеж: Изд-во ИД ВГУ, 2019. С. 291–300.
16. Хромов А.П. О классическом решении смешанной задачи для однородного волнового уравнения с закрепленными концами и нулевой начальной скоростью // Изв. Саратовского ун-та. Новая. cер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2019. Т. 19, вып. 3. С. 280–288. doi: 10.18500/1816-9791-2019-19-3-280-288
17. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и смешанная задача для волнового уравнения // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2019. Вып. 21. С. 62–67.
18. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и метод Фурье для волнового уравнения // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы Междунар. науч. конф.: Сарат. зимн. шк. (Саратов, 28 янв.–1 февр. 2020). Саратов: Изд-во “Научная книга”, 2020. С. 433–439.
19. Корнев В.В., Курдюмов В.П., Хромов А.П. Смешанная задача для волнового уравнения с граничными условиями, содержащими производные // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Междунар. науч. конф.: Воронеж. зимн. мат. шк. (Воронеж, 28 янв.–2 февр. 2021). Воронеж: Изд-во ИД ВГУ, 2021. С. 148–152.
20. Белова Д.В., Бурлуцкая М.Ш. О смешанной задаче для волнового уравнения на графе // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Междунар. науч. конф.: Воронеж. зимн. мат. шк. (Воронеж, 28 янв.–2 февр. 2021). Воронеж: Изд-во ИД ВГУ, 2021. С. 52–54.
21. Расулов М.А. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 462 с.
22. Вагабов А.И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов на Дону: Изд-во Ростов. ун-та, 1994. 160 с.
23. Левитан Б.М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Физматгиз, 1962. 323 с.
Поступила 18.03.2021
После доработки 13.05.2021
Принята к публикации 17.05.2021
Хромов Август Петрович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры дифференциальных уравнений и математической экономики
Саратовский национальный исследовательский университет им. Н.Г. Чернышевского
г. Саратов
e-mail: KhromovAP@sgu.ru
Корнев Владимир Викторович
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры дифференциальных уравнений и математической экономики
Саратовский национальный исследовательский университет им. Н.Г. Чернышевского
г. Саратов
e-mail: KornevVV@sgu.ru
Ссылка на статью: А.П. Хромов, В.В. Корнев. Расходящиеся ряды в методе Фурье для волнового уравнения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 215-238
English
A.P. Khromov, V.V. Kornev. Divergent series in the Fourier method for the wave equation
Series of formal solutions of two mixed problems for the wave equation are studied by a method based on the application of divergent series in the sense of Euler. The validity of this method is proved. The method is very economical in the use of well-known mathematical facts, which opens up the prospect of significant progress in the study of boundary value problems for partial differential equations.
Keywords: Fourier method, mixed problem, wave equation, divergent series, resolvent
Received March 18, 2021
Revised May 13, 2021
Accepted May 17, 2021
Avgust Petrovich Khromov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Saratov State University, Saratov, 410012 Russia, e-mail: KhromovAP@sgu.ru
Vladimir Victorovich Kornev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Saratov State University, Saratov, 410012 Russia, e-mail: KornevVV@sgu.ru
Cite this article as: A.P. Khromov, V.V. Kornev. Divergent series in the Fourier method for the wave equation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 215–238.
[References -> on the "English" button bottom right]
