УДК 517.9
MSC: 49K20, 49N15, 47A52
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-221-237
Полный текст статьи (Full text)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 19-07-00782_а, 20-01-00199_а, 20-52-00030 Бел_а).
Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности — принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП) — в выпуклой задаче оптимального управления для параболического уравнения с операторным ограничением-равенством и граничным управлением. Множество допустимых управлений задачи по традиции вкладывается в пространство суммируемых с квадратом функций. Однако целевой функционал не является, вообще говоря, сильно выпуклым. Получение регуляризованных ПЛ и ПМП основано на использовании двух параметров регуляризации. Один из них “отвечает” за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем добавке к целевому функционалу исходной задачи. Основное предназначение регуляризованных ПЛ и ПМП — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений в смысле Дж. Варги. Регуляризованные ПЛ и ПМП формулируются как теоремы существования в исходной задаче минимизирующих приближенных решений, состоящих из минималей ее регулярной функции Лагранжа. Они “преодолевают” свойства некорректности ПЛ и ПМП и являются регуляризирующими алгоритмами для решения оптимизационной задачи. Особое внимание уделяется доказательству ПМП в задаче минимизации регулярной функции Лагранжа и получению на этой основе регуляризованного ПМП в исходной задаче оптимального управления как следствия регуляризованного ПЛ.
Ключевые слова: выпуклое оптимальное управление, параболическое уравнение, операторное ограничение, граничное управление, минимизирующая последовательность, регуляризирующий алгоритм, принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина, двойственная регуляризация
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.
2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
3. Васильев Ф. П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011. 1056 с.
4. Сумин М. И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 1. C. 279–296. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-1-279-296
5. Сумин М. И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. C. 252–269. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-252-269
6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
7. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
8. Гольштейн Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.
9. Breitenbach T., Borzi A. A sequential quadratic hamiltonian method for solving parabolic optimal control problems with discontinuous cost functionals // J. Dyn. Control Syst. 2019. Vol. 25, iss. 3. P. 403–435. doi: 10.1007/s10883-018-9419-6
10. Breitenbach T., Borzi A. On the SQH scheme to solve nonsmooth PDE optimal control problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2019. Vol. 40, iss. 13. P. 1489–1531. doi: 10.1080/01630563.2019.1599911
11. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
12. Плотников В. И. Теоремы единственности, существования и априорные свойства обобщенных решений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, № 1. С. 33–35.
13. Raymond J.-P., Zidani H. Hamiltonian Pontryagin’s principles for control problems governed by semilinear parabolic equations // Appl. Math. Optim. 1999. Vol. 39, iss. 2. P. 143–177.
14. Casas E. Pontryagin’s principle for state-constrained boundary control problems of semilinear parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 1997. Vol. 35. P. 1297–1327.
15. Сумин М. И. Регуляризованный градиентный двойственный метод решения обратной задачи финального наблюдения для параболического уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 11. С. 2001–2019.
Поступила 29.01.2021
После доработки 13.02.2021
Принята к публикации 1.03.2021
Сумин Михаил Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор
Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина
г. Тамбов;
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
г. Нижний Новгород
e-mail: m.sumin@mail.ru
Ссылка на статью: М.И. Сумин. Регуляризация принципа максимума Понтрягина в выпуклой задаче оптимального граничного управления для параболического уравнения с операторным ограничением-равенством // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021.Т. 27, № 2. С. 221-237
English
M.I. Sumin. Regularization of the Pontryagin maximum principle in a convex optimal boundary control problem for a parabolic equation with an operator equality constraint
We consider the regularization of the classical optimality conditions — the Lagrange principle (LP) and the Pontryagin maximum principle (PMP) — in a convex optimal control problem for a parabolic equation with an operator equality constraint and with a boundary control. The set of admissible controls of the problem is traditionally embedded into the space of square-summable functions. However, the objective functional is not, generally speaking, strongly convex. The derivation of regularized LP and PMP is based on the use of two regularization parameters. One of them is “responsible” for the regularization of the dual problem, while the other is contained in a strongly convex regularizing addition to the objective functional of the original problem. The main purpose of the regularized LP and PMP is the stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. The regularized LP and PMP are formulated as existence theorems in the original problem of minimizing approximate solutions consisting of minimals of its regular Lagrange function. They “overcome” the ill-posedness properties of the LP and PMP and are regularizing algorithms for solving the optimal control problem. Particular attention is paid to the proof of the PMP in the problem of minimizing the regular Lagrange function and obtaining on this basis the regularized PMP in the original optimal control problem as a consequence of the regularized LP.
Keywords: convex optimal control, parabolic equation, operator constraint, boundary control, minimizing sequence, regularizing algorithm, Lagrange principle, Pontryagin maximum principle, dual regularization
Received January 29, 2021
Revised February 13, 2021
Accepted March 1, 2021
Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 19-07-00782_a, 20-01-00199_a, 20-52-00030 Bel_a).
Mikhail Iosifovich Sumin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tambov State University, Tambov, 392000 Russia; Nizhnii Novgorod State University, Nizhnii Novgorod, 603950 Russia, e-mail: m.sumin@mail.ru
Cite this article as: M.I. Sumin. On the regularization of the classical optimality conditions in convex optimal control problems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 221–237.
[References -> on the "English" button bottom right]
