Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, А.А. Чикрий. О дифференциальной игре в стохастической системе ... С. 45-61

УДК 517.977

MSC: 49N70, 47D03, 65C30

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-45-61

Полный текст статьи (Full text)

Изучается игровая задача сближения для системы, динамика которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве. Основное ограничение на уравнение состоит в том, что  оператор при состоянии системы является генератором сильно непрерывной полугруппы (полугруппы класса $C_0$). Решения уравнения представляются с помощью стохастической формулы вариации постоянных. С использованием ограничений на опорные функционалы множеств, которые определяются поведением преследователя и убегающего, получены условия приведения состояния системы на цилиндрическое терминальное множество. Результаты иллюстрируются на модельном примере простого движения в гильбертовом пространстве при случайных возмущениях. Рассматриваются приложения к распределенным системам, описываемым стохастическими уравнениями в частных производных. С учетом случайного внешнего воздействия исследуется процесс распространения тепла с управляемыми распределенными тепловыми источниками и утечками.

Ключевые слова: дифференциальная игра, стохастическое дифференциальное уравнение, винеровский процесс, производящий оператор сильно непрерывной полугруппы, многозначное отображение, опорный функционал, разрешающий функционал, стохастическое уравнение в частных производных
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы. Москва: Наука, 1968. 476 с.

2.   Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. Москва: Наука, 1970. 420 с.

3.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. Москва: Наука, 1974. 456 с.

4.   Красовский Н.Н. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. Москва: Наука, 1985. 516 с.

5.   Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under lack of information. Boston: Birkhauser, 1995. 322 p.

6.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

7.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. Москва: Наука, 1977. 456 с.

8.   Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. Москва: Наука, 1981. 288 с.

9.   Красовский Н.Н. Игра сближения-уклонения со стохастическим поводырем // Докл. АН СССР. 1977. Т. 237, № 5. C. 1020—1023.

10.   Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Седловая точка стохастической дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254, № 1. C. 24–27.

11.   Красовский Н.Н., Третьяков В.Е. Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 259, № 3. C. 534–539.

12.   Красовский Н.Н. Детерминированная стратегия и стохастические программы // Прикл. математика и механика. 1985. Т. 49, № 2. C. 179–198.

13.   Красовский Н.Н., Котельникова А.Н. Стохастический поводырь для объекта с последействием в позиционной дифференциальной игре // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН // 2011. Т. 17, № 2. C. 97–104.

14.   Ramachandran K.M., Tsokos C.P. Stochastic differential games. Paris; Amsterdam; Beijing: Atlantis Press, 2012. 248 p.

15.   Fleming W.H., Nisio M. Differential games for stochastic partial differential equations // Nagoya Math. J. 1993. Vol. 131. P. 75–107. doi: 10.1017/S0027763000004554 

16.   Vlasenko L.A., Chikrii A.A. The method of resolving functionals for a dynamic game in a Sobolev system // J. Automat. Inform. Sci. 2014. Vol. 46,№ 7. P. 1–11. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v46.i7.10 

17.   Власенко Л.А., Руткас А.Г., Чикрий А.А. О дифференциальной игре в абстрактной параболической системе // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 2. C. 26–40.

18.   Chikrii A.A. Conflict-controlled processes. Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ, 1997. 424 p.

19.   Чикрий А.А. Об одном аналитическом методе в динамических играх сближения // Тр. МИАН. 2010. Т. 271. C. 76–92.

20.   Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Иностранная литература, 1962. 830 с.

21.   Curtain R.F., Falb P.L. Stochastic differential equations in Hilbert space // J. Diff. Eq. 1971. Vol. 10, iss. 3. P. 412–430. doi: 10.1016/0022-0396(71)90004-0 

22.   Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Москва: Наука. 1983. 383 c.

23.   Da Prato G., Zabchyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. Cambridge: Cambridge Univer. Press, 1992. 454 p. doi: 10.1017/CBO9780511666223 

24.   Власенко Л.А., Руткас А.Г. О дифференциальной игре в системе, описываемой неявным дифференциально-операторным уравнением // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 6. С. 785–795.

25.   Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. N Y; Berlin; Heidelberg; Tokyo: Springer-Verlag, 1983. 279 p. doi: 10.1007/978-1-4612-5561-1 

26.   Власенко Л.А., Руткас А.Г. Стохастическое импульсное управление параболическими системами типа Соболева // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 10. С. 1482–1491.

27.   Vlasenko L.A., Rutkas A.G. Optimal control of a class of random distributed Sobolev type systems with aftereffect // J. Automat. Inform. Sci. 2013. Vol. 45, № 9. P.  66–76. doi: 10.1615/JAutomatInfScien.v45.i9.60 

28.   Aubin J.P., Frankowska H. Set-valued analysis. Boston: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1990. 461 p.

29.   Дороговцев А.Я., Ивасишен С.Д., Кукуш А.Г. Асимптотическое поведение решений уравнения теплопроводности с белым шумом в правой части // Укр. мат. журн. 1985. Т. 37, № 1. С. 13–20.

30.   Вейтс Е. Стохастическое уравнение теплопроводности для стационарного магистрального транспортного потока // Теория вероятностей и ее применения. 1992. Т. 37, вып. 1. С. 153–156.

Поступила 5.04.2019

После доработки 15.05.2019

Принята к публикации 20.05.2019

Власенко Лариса Андреевна
д-р тех. наук, профессор,
профессор
Харьковский нац. университет радиоэлектроники
г. Харьков
e-mail: lara@rutrus.com

Руткас Анатолий Георгиевич
д-р физ.-мат. наук, профессор,
профессор
Харьковский нац. университет радиоэлектроники
г. Харьков
e-mail: anatoly@rutrus.com

Чикрий Аркадий Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
академик НАН Украины,
зав. отделом
Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАНУ
г. Киев
e-mail: chik@insyg.kiev.ua

Ссылка на статью: Л.А. Власенко, А.Г. Руткас, А.А. Чикрий. О дифференциальной игре в стохастической системе // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 45-61.

English

L.A. Vlasenko, A.G. Rutkas, A.A. Chikrii. On a differential game in a stochastic system

We study the game problem of approach for a system whose dynamics is described by a stochastic differential equation in a Hilbert space. The main assumption on the equation is that the operator multiplying the system state is the generator of a strongly continuous semigroup (a semigroup of class $C_0$). Solutions of the equation are represented by a stochastic formula of variation of constants. Using constraints on the support functionals of sets defined by the behavior of the pursuer and the evader, we obtain conditions for the approach of the system state to a cylindrical terminal set. The results are illustrated with a model example of a simple motion in a Hilbert space with random perturbations. Applications to distributed systems described by stochastic partial differential equations are considered. By taking into account a random external influence, we consider the heat propagation process with controlled distributed heat sources and leaks.

Keywords: differential game, stochastic differential equation, Wiener process, generator of a strongly continuous semigroup, set-valued mapping, support functional, resolving functional, stochastic partial differential equation

Received April 5, 2019

Revised May 15, 2019

Accepted May 20, 2019

Larisa Andreevna Vlasenko, Dr. Tech. Sci., Prof., Kharkov National University of Radio Electronics, Kharkov, 61166 Ukraine, e-mail: lara@rutrus.com

Anatolii Georgievich Rutkas, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kharkov National University of Radio Electronics, Kharkov, 61166 Ukraine, e-mail: anatoly@rutrus.com

Arkadii Alekseevich Chikrii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ukranian NAS Academician, Glushkov Institute of Cybernetics, Kiev, 03187 Ukraine, e-mail: chik@insyg.kiev.ua

Cite this article as: L.A. Vlasenko, A.G. Rutkas, A.A. Chikrii. On a differential game in a stochastic system, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 45–61.