УДК 519.65
MSC: 41A15
DOI: 10.21538/0134-4889-2025-31-4-95-105
Исследование первого автора проведено в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF–2022–0015).
Исследуется задача восстановления функции, где вместо значений функции в определенных точках отрезка известны интегрально усредненные значения по промежуткам. Ю. Н. Субботин предложил называть такую задачу интерполяцией в среднем. Используя связь между интегральными квадратическими сплайнами, решающими указанную задачу, и интерполяционными кубическими, рассматривается вопрос выбора краевых условий в случае отсутствия дополнительной информации на концах отрезка, которую можно было бы использовать как краевые условия. При построении интерполяционного в среднем сплайна через B-сплайны предложены формулы явного задания коэффициентов разложения у концов отрезка, которые обеспечивают сохранение наивысшего третьего порядка приближения.
Ключевые слова: интегральный сплайн, интерполяция в среднем, B-сплайны, краевые условия, кубические сплайны
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Epstein E.S. On obtaining daily climatological values from monthly means // J. Climate. 1991. Vol. 4, no. 3. P. 365–368.
2. Killworth P.D. Time interpolation of forcing fields in ocean models // J. Phys. Oceanogr. 1996. Vol. 26, no. 3. P. 136–143.
3. Delhez É.J.M. A spline interpolation technique that preserve mass budget // Appl. Math. Lett. 2003. Vol. 16, no. 1. P. 17–26. https://doi.org/10.1016/S0893-9659(02)00139-8
4. Moghaddam B.P., Machado J.A.T., Behforooz H. An integro quadratic spline approach for a class of variable-order fractional initial value problems // Chaos, Solitons & Fractals. 2017. Vol. 102. P. 354–360.
https://doi.org/10.1016/j.chaos.2017.03.065
5. Ruiz-Arias J.A. Mean-preserving interpolation with splines for solar radiation modeling // Solar Energy. 2022. Vol. 248. P. 121–127. https://doi.org/10.1016/j.solener.2022.10.038
6. Schoenberg I.J. Splines and histograms // Spline functions and approximation theory: Proc. Symp. / eds. A. Meir, A. Sharma (Edmonton, 1972). Basel: Birkhäuser, 1973. P. 277–327. (Internat. Ser. Numer. Math.; vol. 21.) https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5979-0_13
7. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. T. 138. С. 118–173.
8. Kirsiaed E., Oja P., Shah G.W. Cubic spline histopolation // Math. Model. Anal. 2017. Vol. 22, no. 4.
P. 514–527. https://doi.org/10.3846/13926292.2017.1329756
9. Behforooz H. Approximation by integro cubic splines // Appl. Math. Comput. 2006. Vol. 175, no. 1. P. 8–15.
https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.07.066
10. Zhanlav T., Mijiddorj R. Integro cubic splines and their approximation properties // Вестник ТвГУ. Сер.: Приклад. математика. 2008. № 10. С. 65–77.
11. Zhanlav T., Mijiddorj R. Integro cubic splines on non-uniform grids and their properties // East Asian J. Appl. Math. 2021. Vol. 11, no. 2. P. 406–420. https://doi.org/10.4208/eajam.030920.251220
12. Lang F.-G., Xu X.-P. On integro quartic spline interpolation // J. Comput. Appl. Math. 2012. Vol. 236, no. 17. P. 4214–4226. https://doi.org/10.1016/j.cam.2012.05.017
13. Shali J.A., Haghighi A., Asghary N., Soleymani E. Convergence of integro quartic and sextic B-spline interpolation // Sahand Commun. Math. Anal. 2018. Vol. 10, no. 1. P. 97–108.
https://doi.org/10.22130/scma.2017.27153
14. Behforooz H. Interpolation by integro quintic splines // Appl. Math. Comput. 2010. Vol. 216, no. 2.
P. 364–367. https://doi.org/10.1016/j.amc.2010.01.009
15. Zhanlav T., Mijiddorj R. Integro quintic splines and their approximation properties // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 231. P. 536–543. https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.01.043
16. Wu J., Zhang X. Integro quadratic spline interpolation // Appl. Math. Model. 2015. Vol. 39, no. 10-11. P. 2973–2980. https://doi.org/10.1016/j.apm.2014.11.015
17. Волков Ю.С. Условия формосохранения при интерполяции в среднем квадратическими интегральными сплайнами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 4. С. 71–77. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-4-71-77
18. Lang F.-G., Xu X.-P. On the superconvergence of some quadratic integro-splines at the mid-knots of a uniform partition // Appl. Math. Comput. 2018. Vol. 338. P. 507–514. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.06.046
19. Волков Ю.С. Оценки погрешности интерполяции в среднем интегральными квадратическими сплайнами и точки суперсходимости // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2025. Т. 523. С. 31–34. https://doi.org/10.31857/S2686954325030063
20. Zhanlav T., Mijiddorj R. Approximation by integro splines. Ulaanbaatar: Bit press, 2018.
21. Жанлав Т., Волков Ю.С., Мижиддорж Р.-О. Применение метода Стеклова сглаживания функций к численному дифференцированию и построению локальных квази-интерполяционных сплайнов // Мат. труды. 2025. Т. 28, № 2. С. 28–49.
https://doi.org/10.25205/1560-750X-2025-28-2-28-49
22. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М: Мир, 1972. 316 с.
23. Бор К. де Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985, 304 с.
24. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
25. Волков Ю.С. Вполне неотрицательные матрицы в методах построения интерполяционных сплайнов нечетной степени // Мат. труды. 2004. Т. 7, № 2. С. 3–34.
26. Волков Ю.С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Докл. АН. 2002. Т. 382, № 2. C. 155–157.
27. Волков Ю.С. Новый способ построения интерполяционных кубических сплайнов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 2. С. 231–241.
28. Волков Ю.С. О нахождении полного интерполяционного сплайна через B-сплайны // Сиб. электрон. мат. изв. 2008. Т. 5. С. 334–338.
29. Volkov Yu.S. Obtaining a banded system of equations in complete spline interpolation problem via B-spline basis // Cent. Eur. J. Math. 2012. Vol. 10, no. 1. P. 352–356. https://doi.org/10.2478/s11533-011-0104-1
30. Жанлав Т. О представлении интерполяционных кубических сплайнов через B-сплайны // Вычисл. системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. Вып. 87: Методы сплайн-функций. С. 3–10.
31. Жанлав Т. О краевых условиях для интерполяционных кубических сплайнов // Вычисл. системы. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1984. Вып. 106: Приближение сплайнами. С. 25–28.
32. Behforooz G.H., Papamichael N. End conditions for cubic spline interpolation // J. Inst. Math. Appl. 1979. Vol. 23, no. 3. P. 355–366. https://doi.org/10.1093/imamat/23.3.355
Поступила 30.04.2025
После доработки 26.09.2025
Принята к публикации 6.10.2025
Волков Юрий Степанович
д-р физ.-мат. наук, доцент
главный науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
г. Новосибирск
e-mail: volkov@math.nsc.ru
Жанлав Тугал
д-р физ.-мат. наук, профессор, академик
Институт математики и цифровых технологий, Монгольская академия наук
г. Улан-Батор, Монголия
e-mail: tzhanlav@yahoo.com
Мижиддорж Ренчин-Очир
д-р физ.-мат. наук, доцент
Монгольский государственный университет образования
г. Улан-Батор, Монголия
e-mail: mijiddorj@msue.edu.mn
Ссылка на статью: Ю.С. Волков, Т. Жанлав, Р.-О. Мижиддорж. О краевых условиях для интегральных квадратических сплайнов при интерполяции в среднем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2025. Т. 31, № 4. С. 95–105.
English
Yu.S. Volkov, T. Zhanlav, R.-O. Mijiddorj. On end conditions for integro quadratic spline interpolation in the mean
The problem of function recovery is investigated, where instead of function values at certain points of the segment, integrally averaged values over intervals are known. Yu. N. Subbotin proposed to call such a problem as interpolation in the mean. Using the relationship between integro quadratic splines that solve the specified problem and interpolation cubic splines, the issue of choosing end conditions is considered in the case of the absence of additional information at the ends of the segment that could be used as end conditions. When constructing an interpolation in the mean spline through B-splines, formulas are proposed for explicitly specifying the expansion coefficients at the ends of the segment, which ensure the preservation of the highest third order of approximation.
Keywords: integro spline, interpolation in the mean, B-splines, end conditions, cubic splines
Received April 30, 2025
Revised September 26, 2025
Accepted October 6, 2025
Funding Agency: The work of first author was carried out under a state contract of the Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (project no. FWNF–2022–0015).
Yuriy Stepanovich Volkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Sobolev Institute of Mathematics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: volkov@math.nsc.ru
Tugal Zhanlav, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Academician, Institute of Mathematics and Digital Technology, Mongolian Academy of Sciences, Ulaanbaatar, 13330 Mongolia, e-mail: tzhanlav@yahoo.com
Renchin-Ochir Mijiddorj, Dr. Phys.-Math. Sci., Mongolian National University of Education, Ulaanbaatar, 14191 Mongolia, e-mail: mijiddorj@msue.edu.mn
Cite this article as: Yu.S. Volkov, T. Zhanlav, R.-O. Mijiddorj. On end conditions for integro quadratic spline interpolation in the mean. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2025, vol. 31, no. 4, pp. 95–105 .
[References -> on the "English" button bottom right]
