УДК 517.977
MSC: 49K15
DOI: 10.21538/0134-4889-2024-30-3-14-29
Рассматривается задача оптимального управления при наличии заданного открытого множества “нежелательных” состояний системы. Постановка данной задачи тесно связана с постановкой стандартной задачи оптимального управления с фазовым ограничением и может рассматриваться как ее ослабление. Изучается связь между этими задачами. Представлены недавно полученные необходимые условия оптимальности первого порядка для рассматриваемой задачи. Приведен иллюстрирующий пример.
Ключевые слова: оптимальное управление, дифференциальное включение, принцип максимума Понтрягина, усиленное включение Эйлера — Лагранжа, фазовое ограничение, разрывный интегрант, зона риска
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rockafellar R. Clarke’s tangent cones and the boundaries of closed sets // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 1979. Vol. 3, no. 1. P. 145–154. doi: 10.1016/0362-546X(79)90044-0
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 p.
3. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 481 с.
4. Пшеничный Б.Н., Очилов С. О задаче оптимального прохождения через заданную область // Кибернетика и вычисл. техника. 1993. Т. 99. С. 3–8.
5. Doyen L., Saint-Pierre P. Scale of viability and minimal time of crisis // Set-Valued Anal. 1997. Vol. 5, no. 3. P. 227–246.
6. Aubin J.P. Viability theory. Basel: Birkhäuser, 1991. 543 p.
7. Bayen T., Rapaport A. About Moreau–Yosida regularization of the minimal time crisis problem // J. Convex Anal. 2016. Vol. 23, no. 1. P. 263–290.
8. Boumaza K., Bayen T., Rapaport A. Necessary optimality condition for the minimal time crisis relaxing transverse condition via regularization // ESAIM: Contr., Optim. Calc. Variat. 2021. Vol. 27, art. no. 105. doi: 10.1051/cocv/2021102
9. Асеев С.М., Смирнов А.И. Необходимые условия оптимальности первого порядка для задачи оптимального прохождения через заданную область // Нелинейная динамика и управление: сб. ст. Вып. 4. М.: Физматлит, 2004. С. 179–204.
10. Смирнов А.И. Необходимые условия оптимальности для одного класса задач оптимального управления с разрывным интегрантом // Тр. МИАН. 2008. Т. 262. С. 222–239.
11. Асеев С.М. Об ослаблении фазовых ограничений в задачах оптимального управления // Тр. МИАН. 2023. Т. 321. С. 31–44. doi: 10.4213/tm4322
12. Cesari L. Optimization — theory and applications. Problems with ordinary differential equations. NY: Springer, 1983. doi: 10.1007/978-1-4613-8165-5
13. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. 225 с.
14. Clarke F. Functional analysis, calculus of variations and optimal control. London: Springer-Verlag., 2013. 591 p. (Ser. Graduate Texts in Math.; vol. 264). doi: 10.1007/978-1-4471-4820-3
15. Mordukhovich B.Sh. Optimal control of difference, differential, and differential–difference inclusions // J. Math. Sci. 2000. Vol. 100. P. 2613–2632. doi: 10.1007/BF02672708
16. Асеев С.М. Усиленное включение Эйлера — Лагранжа для одной задачи оптимального управления с разрывным интегрантом // Тр. МИАН. 2021. Т. 315. С. 34–63. doi: 10.4213/tm4247
17. Aseev S.M. Methods of regularization in nonsmooth problems of dynamic optimization // J. Math. Sci. 1999. Vol. 94, no. 3. P. 1366–1393. doi: 10.1007/BF02365018
18. Arutyunov A.V., Aseev S.M. Investigation of the degeneracy phenomenon of the maximum principle for optimal control problems with state constraints // SIAM J. Control Optim. 1997. Vol. 35, no. 3. P. 930–952. doi: 10.1137/S036301299426996X
19. Vinter R.B. Optimal Control. Boston: Birkhäuser, 2000. 507 p.
20. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Факториал, 1997. 254 с.
21. Arutyunov A.V. Perturbations of extremal problems with constraints and necessary optimality conditions // J. Sov. Math. 1991. Vol. 54, no. 6. P. 1342–1400. doi: 10.1007/BF01373649
22. Arutyunov A.V., Karamzin D.Yu., Pereira F.L. The maximum principle for optimal control problems with state constraints by R.V. Gamkrelidze: revisited // J. Optim. Theory Appl. 2011. Vol. 149, no. 3. P. 474–493. doi: 10.1007/s10957-011-9807-5
23. Fontes F.A.C.C., Frankowska H. Normality and nondegeneracy for optimal control problems with state constraints // J. Optim. Theory Appl. 2015. Vol. 166, no. 1. P. 115–136. doi: 10.1007/s10957-015-0704-1
Поступила 8.07.2024
После доработки 26.07.2024
Принята к публикации 29.07.2024
Асеев Сергей Миронович
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Математический институт имени В.А. Стеклова РАН
e-mail: aseev@mi-ras.ru
Ссылка на статью: С.М. Асеев. Задача оптимального управления с ослабленным фазовым ограничением // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, № 3. С. 14-29
English
S.M. Aseev. An optimal control problem with a relaxed state constraint
We explore an optimal control problem in the context of a specified open set representing “undesirable” system states. This problem statement is closely linked to the standard optimal control problem with a state constraint and can be viewed as a relaxation of the latter. The interrelation between these problems is examined. The recently derived necessary first-order optimality conditions for the discussed problem are presented. Additionally, an illustrative example is given.
Keywords: optimal control, differential inclusion, Pontryagin’s maximum principle, refined Euler–Lagrange inclusion, state constraint, discontinuous integrand, risk zone
Received July 8, 2024
Revised July 26, 2024
Accepted July 29, 2024
Sergey Mironovich Aseev, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia, e-mail: aseev@mi-ras.ru
Cite this article as: S.M. Aseev. An optimal control problem with a relaxed state constraint. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2024, vol. 30, no. 3, pp. 14–29.
[References -> on the "English" button bottom right]
