Г. Акишев. О наилучших $M$-членных приближениях функций класса Никольского - Бесова в пространстве Лоренца ... С. 7-26

УДК 517.51

MSC: 41A10, 41A25, 42A05

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-7-26

Работа выполнена в рамках грантового финансирования Министерства образования и науки РК (проект AP08855579 ).

В статье рассматриваются пространства периодических функций многих переменных, а именно пространство Лоренца $L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$, пространство  Никольского - Бесова $S_{p, \tau, \theta}^{\bar{r}}B$, а также изучается наилучшее $M$-членное приближение функции $f \in L_{p, \tau}(\mathbb{T}^{m})$ тригонометрическими полиномами. Установлены точные по порядку  оценки наилучших $M$-членных приближений функций класса  Никольского - Бесова $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ по норме пространства $L_{q, \tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$  при различных соотношениях между параметрами $p, q, \tau_{1}, \tau_{2}, \theta$.

Ключевые слова: пространство Лоренца, класс Никольского - Бесова, тригонометрический полином, наилучшее $M$-членное приближение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. Москва: Мир, 1974. 333 c.

2.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

3.   Лизоркин П.И., Никольский С.М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки зрения // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 187. С. 143–161.

4.   Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-ата: Наука, 1976. 224 с.

5.   Temlyakov V. Multivariate approximation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2018. 551 p. doi: 10.1017/9781108689687 

6.   Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 2. С. 37–40.

7.   Исмагилов Р.С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. Т. 29, № 3. С. 161–178.

8.   Белинский Э.С. Приближение “плавающей” системой экспонент на классах гладких периодических функций // Мат. сб. 1987. Т. 132, № 1. С. 20–27.

9.   Белинский Э.С. Приближение периодических функций с “плавающей” системой экспонент и тригонометрические поперечники // Исследования по теории функций многих вещественных переменных: сб. статей. Ярославль, 1984. С. 10–24.

10.   Белинский Э.С. Приближение “плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных: сб. статей. Ярославль, 1988. С. 16–33.

11.   Makovoz Y. On trigonometric n-widths and their generalization // J. Approx.Theory. 1984. Vol. 41, no. 4. P. 361–366. doi: 10.1016/0021-9045(84)90092-3 

12.   Майоров В.Е. Тригонометрические поперечники соболевских классов $W^{r}_{p}$ в пространстве $L_q$  // Мат. заметки. 1986. Т. 40, № 2. С. 161–173.

13.   Кашин Б.С. Аппроксимационных свойствах полных ортонормированных систем // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 172. С. 187–201.

14.   DeVore R.A. Nonlinear approximation // Acta Numerica. 1998. Vol. 7, no. 51. P. 51–150. doi: 10.1017/S0962492900002816 

15.   Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. МИАН СССР. 1986. Т. 178. С. 1–112.

16.   Temlyakov V.N. Greedy approximation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2011. 434 p. ISBN 978-1-108-42875-0.

17.   Темляков В.Н. Конструктивные разреженные тригонометрические приближения и другие задачи для функций смешанной гладкости // Мат. сб. 2015. Т. 206, № 11. С. 131–1160.

18.   Temlyakov V.N. Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 467–495. doi: 10.1007/s00365-016-9345-3 

19.   Романюк А.С. Наилучшие M-членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. математическая. 2003. Т. 67, №  2. С. 61–100.

20.   Романюк А.С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки. 2007. Т. 82, № 2. С. 247–261.

21.   Dinh Dung On asymptotic order of n-term approximations and non-linear n-widths // Vietnam J. Math. 1999. Vol. 27, no. 4. P. 363–367.

22.   Wang Heping, Sun Yongsheng Representation and m-term approximation for anisotropic classes // Theory of approximation of function and applications / eds. S. M. Nikol’skii et al. Moscow: Institute of Russian Academy, 2003. P. 250–268.

23.   Duan L.Q., Fang G.S. Trigonometric widths and best N-term approximations of the generalized periodic Besov classes $B_{p, \theta}^{\Omega}$  // J. Math. Resear. Expos. 2011. Vol. 31, no. 1. P. 129–141. doi: 10.3770/j.issn:1000-341X.2011.01.015 

24.   Hansen M., Sickel W. Best m-term approximation and Lizorkin–Triebel spaces // J. Approx. Theory. 2011. Vol. 163, no. 8. P. 923–954. doi: 10.1016/j.jat.2011.02.006 

25.   Hansen M., Sickel W. Best m-term approximation and Sobolev–Besov spaces of dominating mixed smoothness the case of compact embeddings // Constr. Approx. 2012. Vol. 36, no. 1. P. 1–51. doi: 10.1007/S00365-012-9161-3 

26.   Stasyuk S.A. Best m-term trigonometric approximation for the classes $B_{p, \theta}^{r}$  of functions of low smoothness // Ukr. Math. J. 2010. Vol. 62, no. 1. P. 114–122. doi: 10.1007/s11253-010-0336-4 

27.   Stasyuk S.A. Best m-term trigonometric approximation of periodic function of several variables from Nikol’skii–Besov classes for small smoothness// J. Approx. Theory. 2014. Vol. 177. P. 1–16. doi: 10.1016/j.jat.2013.09.006 

28.   Stasyuk S.A. Approximating characteristics of the analogs of Besov classes with logarithmic smoothness// Ukr. Math. J. 2014. Vol. 66, no. 4. P. 553–560. doi: 10.1007/s11253-014-0952-5 

29.   Shidlich A.L. Approximation of certain classes of functions of several variables by greedy approximates in the integral metrics. 2013. 16 p. URL: arXiv:1302.2790v1 [mathCA].

30.   Bazarkhanov D.B., Temlyakov V.N. Nonlinear tensor product approximation of functions. 2014. 23 p. URL: arXiv:1409.1403v1 [stat ML].

31.   Базарханов Д.Б. Нелинейные тригонометрические приближения классов функций многих переменных // Тр. математического ин-та РАН. 2016. Т. 293. С. 8–42.

32.   Dũng Dinh, Temlyakov V., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. Cham: Birkhäuser, 2018. 218 p. doi: 10.1007/978-3-319-92240-9 

33.   Акишев Г. О порядках M-членных приближений классов функций симметричного пространства // Мат. журн. 2014. Т. 14, № 4. С. 46–71.

34.   Акишев Г. О точности оценок наилучшего M-членного приближения класса Бесова // Сиб. электронные мат. изв. 2010. Т. 7. С. 255–274.

35.   Акишев Г. О порядках M-членного приближения классов в пространстве Лоренца // Мат. журн. 2011. Т. 11, № 1. С. 5–29.

36.   Акишев Г. Тригонометрические поперечники классов Никольского — Бесова в пространстве Лебега со смешанной нормой// Укр. мат. журн. 2014. Т. 66, № 6. С. 723–732.

37.   Akishev G. On M-term approximations of the Nikol’skii–Besov class // Hacet. Jour. Math. and Stat. 2016. Vol. 45, no. 2. P. 297–310. doi: 10.15672/HJMS.20164512492 

38.   Akishev G. Estimations of the best M-term approximationsof functions in the Lorentz space with constructive methods // Bull. Karaganda Univer. Math. Ser. 2017. № 3. P. 13–26.

39.   Trigub R.M. and Belinsky E.S. Fourier analysis and approximation of functions. Dordrecht: Springer, 2004. 585 p. doi: 10.1007/978-1-4020-2876-2 .

40.   Галеев Э.М. Порядковые оценки производных периодического многомерного — ядра Дирихле в смешанной норме // Мат. сб. 1982. Т. 117, № 1. С. 32–43.

Поступила 24.08.2021

После доработки 14.10.2021

Принята к публикации 18.10.2021

Акишев Габдолла
д-р физ.-мат. наук, профессор
Казахстанский филиал
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова
г. Нур-Султан;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: akishev_g@mail.ru

Ссылка на статью: Г. Акишев. О наилучших $M$-членных приближениях функций класса Никольского - Бесова в пространстве Лоренца // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т.28, № 1. С. 7-26 

English

G. Akishev. On the best M-term approximations of functions from the Nikol’skii–Besov class in the Lorentz space

We consider spaces of periodic functions of many variables, specifically, the Lorentz space $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ and the Nikol'skii-Besov space $S_{p,\tau,\theta}^{\bar{r}}B$, and study the best $M$-term approximation of a function $f\in L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ by trigonometric polynomials. Order-exact estimates for the best $M$-term approximations of functions from the Nikol'skii-Besov class $S_{p, \tau_{1}, \theta}^{\bar{r}}B$ in the norm of the space $L_{q,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ are derived for different relations between the parameters $p$, $q$, $\tau_{1}$, $\tau_{2}$, and $\theta$.

Keywords: Lorentz space, Nikol'skii-Besov class, trigonometric polynomial, best $M$-term approximation

Received August 24, 2021

Revised October 14, 2021

Accepted October 18, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP08855579).

Gabdolla Akishev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kazakhstan Branch, Lomonosov Moscow University, Nur–Sultan, 100008 Republic Kazakhstan; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: akishev_g@mail.ru

Cite this article as: G.Akishev. On the best M-term approximations of functions from the Nikol’skii–Besov class in the Lorentz space, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 7–26.

[References -> on the "English" button bottom right]