А.С. Бортаковский. Необходимые условия оптимальности переключаемых систем ... С. 67-78

УДК 519.977

MSC: 34A34, 93C30

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-67-78

Рассматривается задача оптимального управления переключаемой системой, вектор состояния которой содержит как непрерывные, так и дискретно меняющиеся компоненты. Непрерывная часть системы описывается дифференциальными уравнениями, а дискретная — рекуррентными. Дискретная часть осуществляет переключения режимов работы непрерывной части системы и сама находится под влиянием последней. Моменты переключений, а также их количество заранее не заданы. Они находятся в результате оптимизации функционала качества процесса управления, при этом не исключаются процессы с мгновенными многократными переключениями. При выводе необходимых условий оптимальности применяются малые вариации управлений дискретной частью и вариации моментов переключений, которые представляются игольчатыми вариациями управления непрерывной частью системы. Полученные условия из-за наличия мгновенных многократных переключений отличаются от традиционных уравнениями для вспомогательных переменных. Применение условий оптимальности демонстрируется на академическом примере.

Ключевые слова: гибридные системы, переключаемые системы, оптимальное управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем. Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН. Т.1. Казань: Фолиант, 2011. С. 23–81.

2.   Бортаковский А.С. Оптимизация переключающих систем. М.: Изд-во МАИ, 2016. 120 c.

3.   Branicky M.S., Borkar V.S., Mitter S.K. A unified framework for hybrid control: Model and optimal control theory // IEEE Trans. Automatic Control. 1998. Vol. 43, no. 1. P. 31–45. doi: 10.1109/9.654885 

4.   Brockett R.W. Hybrid models for motion control systems // Essays on control: Perspectives in the theory and its applications / eds. H.L. Trentelman, J.C. Willems, Boston: Birkhauser, 1993. P. 29–53. (Ser. Progress in Systems and Control Theory; vol. 14). doi: 10.1007/978-1-4612-0313-1_2 .

5.   Миллер Б.М., Рубинович Е.Я. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями. М.: Наука, 2005. 429 с.

6.   Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами // Автоматика и телемеханика. 1987. № 7. С. 57–66.

7.   Бортаковский А.С. Синтез оптимальных систем управления со сменой моделей движения // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 2018. № 4. С. 57–74.

8.   Sussmann H.J. A maximum principle for hybrid optimal control problems // Proc. of 38th IEEE Conf. on Decision and Control (Phoenix, AZ, USA). 1999. P. 425–430. doi: 10.1109/CDC.1999.832814 

9.   Hedlund S., Rantzer A. Optimal control of hybrid systems // Proc. of 38th IEEE Conf. on Decision and Control. (Phoenix, AZ). 1999. P. 3972–3977. doi: 10.1109/CDC.1999.827981 

10.   Дмитрук А.В., Каганович А.М. Принцип максимума для задач оптимального управления с промежуточными ограничениями // Нелинейная динамика и управление. Вып. 6. М.: Физматлит, 2008. С.  101–136.

11.   Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 c.

12.   Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 446 c.

13.   Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 c.

14.   Летов А.М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1973. 390 c.

15.    Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 392 c.

16.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 c.

Поступила 1.02.2021

После доработки 22.02.2021

Принята к публикации 1.03.2021

Бортаковский Александр Сергеевич
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет);
профессор
“Национальный исследовательский технологический
университет “МИСиС”
г. Москва
asbortakov@mail.ru

Ссылка на статью: А.С. Бортаковский. Необходимые  условия  оптимальности переключаемых  систем // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 67-78

English

A.S. Bortakovskii. Necessary optimality conditions for switching systems

We consider an optimal control problem for a switching system whose state vector contains both continuous and discretely varying components. The continuous and the discrete parts of the system are described by differential and recursive equations, respectively. The discrete part switches the operating modes of the continuous part and is itself influenced by the latter. The switching times and their number are not predefined. They are found as a result of optimizing the quality functional of the control process; here processes with instantaneous multiple switchings are not excluded. In deriving the necessary optimality conditions, we use small variations of the controls of the discrete part and variations of the switching times, which are represented by needle variations of the control of the continuous part of the system. The obtained conditions differ from the traditional equations for auxiliary variables due to the presence of instantaneous multiple switchings. The application of the optimality conditions is demonstrated by an academic example.

Keywords: hybrid systems, switching systems, optimal control

Received February 1, 2021

Revised February 22, 2021

Accepted March 1, 2021

Alexandr Sergeevich Bortakovskii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia; National University of Science and Technology MISIS, Moscow, 119049 Russia, e-mail: asbortakov@mail.ru

Cite this article as: A.S. Bortakovskii. Necessary optimality conditions for switching systems, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 67–78.

[References -> on the "English" button bottom right]