А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. О локализации негладких линий разрыва функции двух переменных ... С. 9-23

УДК 517.988.68

MSC: 65J20, 68U10

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-9-23

Полный текст статьи (Full text)

Рассматриваются некорректно поставленные задачи локализации (определения положения) линий разрыва зашумленной функции двух переменных (изображения). Для равномерной сетки с шагом $\tau$ предполагается, что в каждом узле известны средние значения на квадрате со стороной $\tau$ от возмущенной функции. Возмущенная функция приближает точную в пространстве $L_2(\mathbb{R}^2),$ и уровень возмущения $\delta$ известен. Ранее авторами был изучен случай кусочно-гладких линий разрыва, которые, как правило, отвечают границам искусственных объектов на изображении. В настоящей статье разрабатывается подход к изучению алгоритмов локализации, позволяющий ослабить условия на гладкость линий разрыва и включить в рассмотрение также негладкие линии разрыва, которые могут описывать границы естественных объектов. Для решения рассматриваемой задачи на основе процедур усреднения конструируются и исследуются глобальные дискретные алгоритмы приближения линий разрыва множеством точек равномерной сетки. Формулируются условия на точную функцию и строится класс корректности, содержащий, в частности, функции с негладкой линией разрыва. Проводится теоретическое изучение построенных алгоритмов на данном классе. Устанавливается, что предложенные алгоритмы позволяют получить точность локализации порядка $O(\delta).$ Также приводятся оценки других важных параметров, характеризующих работу алгоритма локализации.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, линии разрыва, глобальная локализация, дискретизация, порог разделимости

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

2.   Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

3.   Vasin V. V., Ageev A. L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht: VSP, 1995. 255 с.

4.   Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

5.   Введение в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов / ред. Я. А. Фурмана. М.: Физматлит, 2002. 596 с.

6.   Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений: изд. 3-е испр. и доп. М.: Техносфера, 2012. 1104 с.

7.   Антонова Т.В. Метод локализации линии разрыва приближенно заданной функции двух переменных // Сиб. журн. вычисл. математики. 2012. Т. 15, № 4. C. 345–357.

8.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Аппроксимация линий разрыва зашумленной функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1(49). С. 3–13.

9.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. Дискретный алгоритм локализации линий разрыва функции двух переменных // Сиб. журн. индустр. математики. 2017. Т. 20, № 4(72). С. 3–12. doi: 10.17377/sibjim.2017.20.401

10.   Агеев А.Л., Антонова Т.В. К вопросу о глобальной локализации линий разрыва функции двух переменных // Тр. Ин-та математики и механики. 2018. Т. 24, № 2. С. 12–23.

Поступила 11.06.2019

После доработки 22.07.2019

Принята к публикации 29.07.2019

Агеев Александр Леонидович
д-р физ.-мат. наук, зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ageev@imm.uran.ru

Антонова Татьяна Владимировна
д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Л. Агеев, Т.В. Антонова. О локализации негладких линий разрыва функции двух переменных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 9-23

English

A.L. Ageev, T.V. Antonova. On the localization of nonsmooth discontinuity lines of a function of two variables

We consider ill-posed problems of localizing (finding the position of) the discontinuity lines of a perturbed function of two variables (an image). For each node of a uniform square grid with step $\tau$, the average values of the function over a square $\tau\times\tau$ are assumed to be known. The perturbed function approximates an exact function in the space $L_2(\mathbb{R}^2)$, and the perturbation level $\delta$ is known. Earlier, the authors studied the case of piecewise smooth discontinuity lines, which, as a rule, correspond to the borders of artificial objects in the corresponding image. In the present paper, an approach to the study of localization algorithms is developed, which makes it possible to weaken the conditions on the smoothness of discontinuity lines and consider, in particular, nonsmooth discontinuity lines, which can describe the boundaries of natural objects. To solve the problem under consideration, we construct and analyze global discrete algorithms for the approximation of discontinuity lines by sets of points of a uniform grid on the basis of averaging procedures. Conditions on the exact function are formulated and a correctness class is constructed, which includes functions with nonsmooth discontinuity lines. A theoretical analysis of the constructed algorithms is carried out on this class. It is established that the proposed algorithms make it possible to obtain a localization error of order $O(\delta)$. We also estimate other important parameters, which characterize the operation of the localization algorithm.

Keywords: ill-posed problem, regularization method, discontinuity lines, global localization, discretization, separability threshold

Received June 11, 2019

Revised July 22, 2019

Accepted July 29, 2019

Aleksandr Leonidovich Ageev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: ageev@imm.uran.ru

Tat’yana Vladimirovna Antonova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,
e-mail: tvantonova@imm.uran.ru

Cite this article as: A.L. Ageev, T.V. Antonova. On the localization of nonsmooth discontinuity lines of a function of two variables, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 9–23