В.В. Васин, В.В. Беляев. Анализ регуляризующегоалгоритма для линейного операторного уравнения, содержащего разрывную компоненту решения ... С. 34-44

УДК 517.988.68

MSC: 65J15, 65J20, 45L05

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-3-34-44

Полный текст статьи (Full text)

Исследуется линейное операторное уравнение, не удовлетворяющее условиям корректности Адамара. Предполагается, что решение уравнения содержит различные свойства гладкости на различных участках области определения. А именно, решение представимо в виде суммы гладкой и разрывной компонент. Для построения устойчивого приближенного решения применяется метод регуляризации Тихонова. В этом методе стабилизатор есть сумма лебеговой нормы и сглаженной $BV$-нормы. Каждый из входящих в стабилизатор функциоалов зависит только от одной компоненты и учитывает ее свойства. Доказываются теоремы сходимости регуляризованных решений и их дискретных аппроксимаций. Устанавливается, что для нахождения дискретных регуляризованных решений могут быть применены метод Ньютона и нелинейные аналоги $\alpha$-процессов.

Ключевые слова: некорректная задача, метод регуляризации, разрывное решение, обобщенная вариация, дискретная аппроксимация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Gholami A., Hosseini S.M. A balanced combination of Tikhonov and total variation regularization for reconstruction of piecewise-smooth signal // Signal Processing. 2013. Vol. 93, no. 7. P. 1945–1960. doi: 10.1016/j.sigpro.2012.12.008 

2.   Gandes E.J., Romberg J., Tao T. Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurments // Pure Appl. Math. 2006. Vol. 59, no. 8. P. 1207–1223. doi: 10.1002/cpa.20124 

3.   Васин В.В. Восстановление гладкой и разрывной компонент решения линейных некорректных задач // Докл. АН. 2013. Т. 448, № 2. С 127–130. doi: 10.7868/S0869565213020096 

4.   Vasin V.V. Regularization of ill-posed problems by using stabilizers in the form of the total variation of a function and its derivatives // J. Inverse Ill-Posed Problem. 2016. Vol. 24, no. 2. P. 149–158. doi: 10.1515/jiip-2015-0050 

5.   Giusti E. Minimal surfaces functions of bounded variation. Basel: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1984. (Ser. Monographs in Mathematics; vol. 80). doi: 10.1007/978-1-4684-9486-0 

6.   Acar R., Vogel C.R. Analysis of bounded variation penalty methods for ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. Vol. 10, no. 6. P. 1217–1229. doi: 10.1088/0266-5611/10/6/003 

7.   Васин В.В., Беляев В.В. Аппроксимация компонент решения некорректных задач методом Тихонова с обобщенной вариацией // Докл. АН. 2018. Т. 480, № 6. С. 639–643. doi: 10.1134/S1064562418030250 

8.   Vasin V.V., Belyaev V.V. Modification of the Tikhonov method under separate reconstruction of components of solution with various properties // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2017. Vol. 5, iss. 2. P. 66–79.

9.   Vainikko G. Functionalanalysis der Diskretisierungsmethoden. Leipzig: Teugner Verlag, 1976. 136 S. doi: 10.1002/zamm.19780580410 

10.   Grigorieff R.D. Zur Theorie Approximations regularer Operatoren. I; II // Mathematische Nachrichten. 1973. Bd. 55, Nr. 3. S. 233–249; S. 251–263. doi: 10.1002/mana.19730550113 

11.   Stummel F. Diskrete Konvergentz linearer Operatoren. I // I Mathematische Annalen. 1970. Bd. 190, Nr. 1. S. 45–92. doi: 10.1007/BF01349967 ; Diskrete Konvergentz linearer Operatoren. II // Mathematische Zeitschrift. 1971. Bd. 120, Nr. 3. S. 231–264.

12.   Vasin V.V. Regularization and iterative approximation for linear ill-posed problems in the space of functions of bounded variation // Proc. Steklov Inst. Math. 2002. Suppl. 1. P. 225–239.

13.   Vasin V.V., Ageev A.L. Ill-posed problems with a priori information. Utrecht, The Netherlsnds: VSP, 1995. 255 p.

14.   Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М. Мир, 1978. 336 c.

15.   Vasin V.V., Skurydina A.F. Two-stage method of construction of regularizing algorithms for nonlinear ill-posed problems // Proc. Steklov Inst. Math. 2018. Vol. 301, Suppl. 1. P. 173–190. doi: 10.1134/S0081543818050152 

Поступила 18.04.2019

После доработки 8.07.2019

Принята к публикации 15.07.2019

Васин Владимир Васильевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: vasin@imm.uran.ru

Беляев Владимир Васильевич
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
ассистент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: beliaev_vv@mail.ru

Ссылка на статью:В.В. Васин, В.В. Беляев. Анализ регуляризующегоалгоритма для линейного операторного уравнения, содержащего разрывную компоненту решения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 3. С. 34-44.

English

V.V. Vasin, V.V. Belyaev. Analysis of a regularization algorithm for a linear operator equation containing a discontinuous component of the solution

We study a linear operator equation that does not satisfy the Hadamard well-posedness conditions. It is assumed that the solution of the equation has different smoothness properties on different segments of its domain. More exactly, the solution is representable as the sum of a smooth and discontinuous components. The Tikhonov regularization method is applied for the construction of a stable approximate solution. In this method, the stabilizer is the sum of the Lebesgue norm and the smoothed $BV$-norm. Each of the functionals in the stabilizer depends only on one component and takes into account its properties. Convergence theorems are proved for the regularized solutions and their discrete approximations. It is shown that discrete regularized solutions can be found with the use of the Newton method and nonlinear analogs of $\alpha$-processes.

Keywords: ill-posed problem, regularization method, discontinuous solution, total variation, discrete approximation

Received April 18, 2019

Revised July 8, 2019

Accepted July 15, 2019

Vladimir Vasil’evich Vasin, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, email: vasin@imm.uran.ru

Vladimir Vasil’evich Belyaev, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, email: beliaev_vv@mail.ru

Cite this article as: V.V. Vasin, V.V. Belyaev. Analysis of a regularization algorithm for a linear operator equation containing a discontinuous component of the solution, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 3, pp. 34–44.