Ю.С. Волков. Пример параболической сплайн интерполяции с ограниченной константой Лебега ... C. 85-91

УДК 519.65

MSC: 41A05, 41A15, 41A25

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-4-85-91

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 0314-2016-0013.

Рассматривается пример последовательности геометрических сеток данных, для которых константа Лебега интерполяции классическими параболическими сплайнами (схема Субботина) с периодическими краевыми условиями не является ограниченной, т. е. интерполяционный процесс может расходиться. Предложена альтернативная схема выбора узлов параболического сплайна. Если в схеме Субботина на каждом промежутке сетки данных узел сплайна выбирается строго посередине, то в альтернативной схеме положение узла определяется пропорционально величинам соседних промежутков (рассмотрены 2 варианта). При интерполяции по альтернативной схеме в рассмотренном примере имеет место сходимость процесса интерполяции для любой непрерывной функции, т. е. константа Лебега ограничена. Рассмотренная последовательность сеток является "худшей" с точки зрения сходимости процесса интерполяции в классическом случае.

Ключевые слова: параболические сплайны, интерполяция, сходимость, константа Лебега

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. 248 с.

2.   Волков Ю.С. Расходимость интерполяционных сплайнов нечетной степени // Вычисл. системы / ИМ СО АН СССР. Новосибирск, 1984. Вып. 106: Приближение сплайнами. С. 41–56.

3.   Зматраков Н.Л. Сходимость интерполяционного процесса для параболических и кубических сплайнов // Тр. МИАН. 1975. Т. 138. С. 71–93.

4.   Volkov Yu.S. The general problem of polynomial spline interpolation // Proc. Steklov Inst. Math. 2018. Vol. 300, Suppl. 1. P. S187–S198. doi: 10.1134/S0081543818020190

5.   Schoenberg I. J., Whitney A. On P$\acute{\mathrm{o}}$lya frequency functions. III. The positivity of translation determinants with an application to the interpolation problem by spline curves // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. Vol. 74, no. 2. P. 246–259. doi: 10.2307/1990881

6.   Richards F. B. Best bounds for the uniform periodic spline interpolation operator // J. Approxim. Theory. 1973. Vol. 7, no. 3. P. 302–317.

7.   Волков Ю. С. Новый способ построения интерполяционых кубических сплайнов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 2. С. 231–241.

8.   Волков Ю. С. Обратные циклических ленточных матриц и сходимость процессов интерполяции для производных периодических интерполяционных сплайнов // Сиб. журн. вычисл. математики. 2010. Т. 13, № 3. С. 243–253.

9.   Волков Ю. С., Мирошниченко В. Л. Оценки норм матриц, обратных к матрицам монотонного вида и вполне неотрицательным матрицам // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 6. С. 1248–1254.

Поступила 01.09.2018

После доработки 08.10.2018

Принята к публикации 15.10.2018

Волков Юрий Степанович
д-р физ.-мат. наук, доцент
гл. науч. сотрудник
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск;
профессор
Новосибирский государственный университет, г. Новосибирск
e-mail: volkov@math.nsc.ru

English

Yu.S. Volkov. Example of parabolic spline interpolation with bounded Lebesgue constant

We consider an example of a sequence of geometric data grids for which the Lebesgue constant of interpolation by the classical parabolic splines (Subbotin’s scheme) with periodic boundary conditions is unbounded; i.e., the interpolation process may diverge. We propose an alternative scheme for choosing the knots of a parabolic spline. In Subbotin’s scheme, knots of a spline are chosen as the midpoints of intervals of the data grid, whereas the location of a knot in the alternative scheme is defined proportionally to the lengths of the adjacent intervals (we consider two variants). In the case of interpolation by the alternative scheme in the example under consideration, the process converges for any continuous function; i.e., the Lebesgue constant is bounded. The sequence of grids studied in the paper is the “worst” from the viewpoint of the convergence of the interpolation process in the classical case.

Keywords: parabolic splines, interpolation, convergence, Lebesgue constant

Received September 01, 2018

Revised October 08, 2018

Accepted October 15, 2018

Funding Agency: This work was supported by Program 0314-2016-0013 for Fundamental Research of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences.

Yuriy Stepanovich Volkov, Dr. Phys.-Math. Sci, Prof., Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, 630090 Russia; Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: volkov@math.nsc.ru