М. И. Гусев, И. В. Зыков. О геометрии множеств достижимости управляемых систем с изопериметрическими ограничениями ... С. 63-75

MSC: 93B03

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-63-75

Работа выполнена при поддержке комплексной программы УрО РАН, проект 18-1-1-9 “Оценивание динамики нелинейных управляемых систем и маршрутная оптимизация”.

Рассматривается нелинейная управляемая система, линейная по управляющим переменным. Ограничения на управление и траекторию системы заданы системой изопериметрических ограничений в форме неравенств для интегральных функционалов. В работе получено описание границы множества достижимости системы в заданный момент времени. Показано, что допустимое управление, переводящее систему на границу множества достижимости, является слабо эффективным решением некоторой задачи оптимального управления с векторным критерием при условии полной управляемости линеаризованной системы. Компонентами критерия являются интегральные функционалы, задающие изопериметрические ограничения. Данное утверждение обобщает на случай нескольких совместных интегральных ограничений результаты предыдущих работ авторов. Доказательство опирается на теорему Грейвса для накрывающих отображений и использует свойства производной отображения "вход-выход" и ограничений задачи. Утверждение остается справедливым, если начальное состояние системы не фиксировано, а принадлежит заданному множеству. Осуществляется редукция рассматриваемой задачи к задаче управления со скалярным критерием, зависящим от параметров. В качестве скалярного критерия выбирается чебышевская свертка интегральных функционалов. Получены необходимые условия оптимальности управлений, приводящих на границу множества достижимости, в форме принципа максимума Понтрягина.

Ключевые слова: управляемая система, изопериметрические ограничения, множество достижимости, принцип максимума.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Сеточный метод приближенного построения ядра выживаемости для дифференциального включения // Вычисл. математика и математическая физика. 2001. Т. 41, № 6. С. 895–908.

2.   Пацко В. С., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 320–328.

3.   Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Basel: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user, 1997. 321 p. ISBN: 978-0-8176-3699-9 .

4.   Костоусова E.К. Внешнее и внутреннее оценивание областей достижимости при помощи параллелотопов // Вычисл. технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 11–20.

5.   Filippova T.F. Estimates of reachable sets of impulsive control problems with special nonlinearity // AIP Conference Proc. 2016. Vol. 1773. P. 1–10. doi: https://doi.org/10.1063/1.4964998 .

6.   Ченцов А.Г. Асимптотическая достижимость при возмущении интегральных ограничений в абстрактной задаче управления // Изв. вузов. Математика. 1995. № 2. С. 60–71; № 3 С. 62–73.

7.   Chentsov A. G. Asymptotic attainability. Dordrecht; Boston: Kluwer Acad. Publ., 1997. 322 p. doi: https://doi.org/10.1007/978-94-017-0805-0

8.   Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under l2 bounded controls // Dyn. Contin. Discrete Impuls. Series A: Math. Analysis. 2004. Vol. 11, no. 2-3. С. 255–267.

9.   The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls / K.G. Guseinov, O. Ozer, E. Akyar, V.N. Ushakov // Nonlinear Diff. Eq. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1-2. P. 57–73. doi: https://doi.org/10.1007/s00030-006-4036-6 .

10.   Gusev M.I., Zykov I.V. On extremal properties of boundary points of reachable sets for a system with integrally constrained control // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50, no. 1. P. 4082–4087. doi: https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.792 .

11.   Gusev M.I. An algorithm for computing boundary points of reachable sets of control systems under integral constraints // Ural Math. J. 2017. Vol. 3, no. 1. P. 44–51. doi: https://doi.org/10.15826/umj.2017.1.003 .

12.   Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. Vol. 3, no. 3. P. 519–548. doi: https://doi.org/10.3934/naco.2013.3.519 .

13.   Вдовин С.А., Тарасьев А.М., Ушаков В.Н. Построение множества достижимости интегратора Брокетта // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, № 5. С. 707–724.

14.   Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. Новосибирск: Наука, 2009. 278 с.

15.   Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

16.   Dontchev A.L. The Graves theorem revisited // J. Convex Anal. 1996. Vol. 3, no. 1. P. 45–53.

17.   Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // Успехи мат. наук. 1980. Т. 35, № 6. С. 11–46.

18.   Штойер Р. Многокритериальная оптимизация Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. 504 с.

19.   Арутюнов А.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения. М.: Факториал пресс, 2006. 144 с.

20.   Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. 835 с.

21.   Gusev M.I., Zykov I.V. A numerical method for solving linear–quadratic control problems with constraints // Ural Math. J. 2016. Vol. 2, no. 2, P. 108–116. doi: https://doi.org/10.15826/umj.2016.2.009 .

Поступила 31.10.2017

Гусев Михаил Иванович 
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет,
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru 

Зыков Игорь Владимирович
аспирант
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН,
г. Екатеринбург
e-mail: zykoviustu@mail.ru

English

M. I. Gusev, I. V. Zykov. On the geometry of reachable sets for control systems with isoperimetric constraints.

A nonlinear control system linear in control variables is considered. The control and the trajectory are subject to a system of isoperimetric constraints in the form of inequalities for integral functionals. We describe the boundary of the reachable set of the system at a given time and show that an admissible control taking the system to the boundary of the admissible set is a weakly efficient solution of a certain optimal control problem with a vector criterion if the linearized system is completely controllable. The components of the criterion are integral functionals that specify isoperimetric constraints. The stated result generalizes the authors’ earlier results to the case of several consistent integral constraints. The proof is based on the Graves theorem on covering mappings and on the properties of the derivative of the “input–output” mapping and of the constraints. The result remains valid if the initial state of the system is not fixed but belongs to a given set. The problem is reduced to a control problem with a scalar criterion depending on parameters. The Chebyshev convolution of integral functionals is chosen as the scalar criterion. Necessary conditions are obtained for the optimality of controls taking the system to the boundary of the reachable set in the form of Pontryagin’s maximum principle.

Keywords: control system, isoperimetric constraints, reachable set, maximum principle.

The paper was received by the Editorial Office on October 31, 2017.

Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: gmi@imm.uran.ru.

Igor’ Vladimirovich Zykov, doctoral student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia,
e-mail: zykoviustu@mail.ru.