М.И. Гомоюнов, Н.Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин. Об аппроксимации минимаксных решений функциональных уравнений Гамильтона-Якоби для систем с запаздыванием ... С. 53-62

УДК 517.955

MSC: 35F21, 49L99, 34K05

DOI: 10.21538/0134-4889-2018-24-1-53-62

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МК-3047.2017.1.

Рассматривается минимаксное решение задачи Коши для функционального уравнения Гамильтона - Якоби с коинвариантными производными с условием на правом конце. Уравнения Гамильтона - Якоби рассматриваемого вида возникают в задачах динамической оптимизации систем с запаздыванием. Их аппроксимация сопряжена с дополнительными вопросами корректного перехода от бесконечномерного функционального аргумента искомого решения к конечномерному. Ранее изучались аппроксимации, основанные на кусочно-линейном приближении функционального аргумента и свойствах корректности минимаксных решений. В данной статье предложена и обоснована схема аппроксимации функциональных уравнений Гамильтона - Якоби с коинвариантными производными обычными уравнениями Гамильтона - Якоби с частными производными, которая основана на аппроксимации характеристических функционально-дифференциальных включений, используемых при определении искомого минимаксного решения, при помощи обыкновенных дифференциальных включений.

Ключевые слова: уравнения Гамильтона - Якоби, обобщенные решения, коинвариантные производные, конечномерные аппроксимации, системы с запаздыванием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

2. Красовский Н.Н. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т. 226, № 6. С. 1260–1263.

3. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196, № 4. С. 779–782.

4. Субботин A.И., Ченцов A.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. Москва: Наука, 1981. 288 с.

5. Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сб. 1976. Т. 99, № 3. С. 394–420.

6. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона - Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

7. Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Vol. 277, no. 1. P. 1–42.

8. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения типа Гамильтона - Якоби и дифференциальные игры с наследственной информацией // Докл. РАН. 2000. Т. 371, № 4. С. 457–461.

9. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Уравнения типа Гамильтона - Якоби в наследственных системах: минимаксные решения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6, № 1. С. 110–130.

10. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона - Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во УрФУ, 2011. 243 с.

11. Kim A.V. Functional differential equations. Application of i-smooth calculus. Dordrecht: Kluwer, 1999. 165 p.

12. Тарасьев А.М., Успенский А.А., Ушаков В.Н. Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика. 1994. № 3. С. 173–185.

13. Falcone M., Ferretti R. Discrete time high order schemes for viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations // Numer. Math. 1994. Vol. 67, no. 3. P. 315–344.

14. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона Якоби // Докл. РАН. 1996. Т. 348, № 6. С. 736–739.

15. Лукоянов Н.Ю. Об аппроксимации функциональных уравнений Гамильтона - Якоби в системах с наследственной информацией // Тр. Междунар. семинара “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона - Якоби”, посвящен. 60-летию акад. А.И. Субботина (22–26 июня 2005 г., Екатеринбург, Россия). Т. 1. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2006. С. 108–115.

16. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, вып. 4. С. 716–724.

17. Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. математика и механика. 1965. Т. 29, вып. 2. С. 226–235.

18. Куржанский А.Б. К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения, 1967. Т. 3, № 12. С. 2094–2107.

19. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Конечномерные моделирующие поводыри в системах с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 182–195.

20. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

Поступила 1.10.2017

Гомоюнов Михаил Игоревич 
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
доцент
ИЕНиМ, Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Лукоянов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
директор
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
ИЕНиМ, Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: nyul@imm.uran.ru

Плаксин Антон Романович
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
аспирант
ИЕНиМ, Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: a.r.plaksin@gmail.com

English

M. I. Gomoyunov, N.Yu. Lukoyanov, A.R. Plaksin. Approximation of minimax solutions to Hamilton–Jacobi functional equations for delay systems.

A minimax solution of the Cauchy problem for a functional Hamilton–Jacobi equation with coinvariant derivatives and a condition at the right end is considered. Hamilton–Jacobi equations of this type arise in dynamical optimization problems for time-delay systems. Their approximation is associated with additional questions of the correct transition from the infinite-dimensional functional argument of the desired solution to the finite-dimensional one. Earlier, the schemes based on the piecewise linear approximation of the functional argument and the correctness properties of minimax solutions were studied. In this paper, a scheme for the approximation of Hamilton–Jacobi functional equations with coinvariant derivatives by ordinary Hamilton–Jacobi equations with partial derivatives is proposed and justified. The scheme is based on the approximation of the characteristic functional–differential inclusions used in the definition of the desired minimax solution by ordinary differential inclusions.

Keywords: Hamilton–Jacobi equations, generalized solutions, coinvariant derivatives, finite-dimensional approximations, time-delay systems.

The paper was received by the Editorial Office on October 1, 2017.

Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and
Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural
Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com.

Nikolai Yur’evich Lukoyanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Corresponding Member of RAS, Prof., Krasovskii
Institute ofMathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg,
620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia,
e-mail: nyul@imm.uran.ru .

Anton Romanovich Plaksin, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the
Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg,
620002 Russia, e-mail: a.r.plaksin@gmail.com.